Question

（1）如圖1所示，固定于水平面上的金屬框架abcd，處在豎直向下的勻強磁場中。金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運動。框架的ab與dc平行，bc與ab、dc垂直。MN與bc的長度均為l，在運動過程中MN始終與bc平行，且與框架保持良好接觸。磁場的磁感應強度為B。

a. 請根據法拉第電磁感應定律，推導金屬棒MN中的感應電動勢E；
b. 在上述情景中，金屬棒MN相當于一個電源，這時的非靜電力與棒中自由電子所受洛倫茲力有關。請根據電動勢的定義，推導金屬棒MN中的感應電動勢E。
（2）為進一步研究導線做切割磁感線運動產生感應電動勢的過程，現構建如下情景：如圖2所示，在垂直于紙面向里的勻強磁場中，一內壁光滑長為l的絕緣細管MN，沿紙面以速度v向右做勻速運動。在管的N端固定一個電量為q的帶正電小球（可看做質點）。某時刻將小球釋放，小球將會沿管運動。已知磁感應強度大小為B，小球的重力可忽略。在小球沿管從N運動到M的過程中，求小球所受各力分別對小球做的功。

Answer 1

（1）見解析 （2）洛倫茲力做功為0，管的支持力做功

試題分析：（1）
如圖1所示，在一小段時間Dt內，金屬棒MN的位移

 （2分）
這個過程中線框的面積的變化量
  （1分）
穿過閉合電路的磁通量的變化量
 （1分）
根據法拉第電磁感應定律   （1分）
解得   （1分）
如圖2所示，棒向右運動時，電子具有向右的分速度，受到沿棒向下的洛倫茲力

，f即非靜電力（2分）
在f的作用下，電子從M移動到N的過程中，非靜電力做功
 （2分）
根據電動勢定義   （1分）
解得   （1分）
（2）小球隨管向右運動的同時還沿管向上運動，其速度如圖3所示。小球所受洛倫茲力f_合如圖4所示。將f_合正交分解如圖5所示。 （2分）

小球除受到洛倫茲力f_合外，還受到管對它向右的支持力F，如圖6所示。
洛倫茲力f_合不做功   （2分）
沿管方向，洛倫茲力f做正功 
垂直管方向，洛倫茲力是變力，做負功   （2分）
由于小球在水平方向做勻速運動，則   （1分）
因此，管的支持力F對小球做正功   （1分）
說明：用其它方法計算管的支持力F對小球所做功，只要過程、結果正確，可得4分。