Question

如圖所示，兩根足夠長傾角為30°的平行導軌DE、GF，相距為d=0.5m，D、G間接有容量C=5000μF的電容器．長為d，質量m=20g的導體棒ab可在導軌上無摩擦滑動，導體棒和導軌的電阻不計．整個裝置處在磁感應強度為2.0T的勻強磁場中，磁場方向與導軌DE、GF所在的平面垂直．現使導體ab棒由靜止開始滑下，經時間t速度v=10m/s．整個過程電容器未被擊穿．求：
（1）t時刻電容器所帶的電量；
（2）t的大�。�
（3）時間t內有多少機械能轉化為電磁能．

Answer 1

分析：（1）導體棒向下運動切割磁感線產生感應電動勢，對電容器充電，根據E=Bdv求出t時刻導體棒產生的感應電動勢，因導體棒和導軌的電阻不計，電容器的電壓等于E，即可由Q=CU求出電容器的電量．
（2）對導體棒，根據牛頓第二定律和安培力公式列式得到加速度與電流的關系．對于電容器，有：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda，可推導出導體棒的加速度，判斷出導體棒做勻加速運動，再結合勻變速運動公式v=at，即可求得t．
（3）導體棒做勻加速運動，由公式v²=2aS求出棒ab在t時間內下滑的距離S．根據能量守恒可求解轉化為電磁能的機械能．

解答：解：（1）t時刻電容器兩端的電壓為：U=E=Bdv
電容器所帶電量：Q=CU=CBdv=5×10^-3×2×0.5×10=0.05C
（2）棒ab沿導軌下滑時，根據牛頓第二定律有：mgsin30°-F=ma 
又棒所受的安培力為：F=BId
電路中電流為：I=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBd△v

△t

=CBda
聯立以上三式得：a=

mgsin30°

m+CB2d2

=

2×10-2×10× 1 2

2×10-2+5×10-3×22×0．52

=4m/s²．
式中各量均不變，說明加速度不變，導體棒做勻加速直線運動．
由勻變速運動公式得：v=at
得：t=

v

a

=

10

4

s=2.5s
（3）棒ab在t時間內沿導軌下滑的距離S，由勻變速運動公式得：v²=2aS
得：S=

v2

2a

=

102

2×4

m=12.5m
時間t內轉化為電磁能的機械能，則有：
△E_電=△E_機=mgSsin30°-

1

2

mv2=2×10^-2×10×12.5×0.5-

1

2

×2×10^-2×10²=0.25J．  
答：（1）t時刻電容器所帶的電量為0.05C；
（2）t的大小為2.5s；
（3）時間t內有0.25J的機械能轉化為電磁能．

點評：本題關鍵是分析棒的受力情況，根據牛頓第二定律得到加速度的表達式，判斷出棒的運動性質．再結合運動學公式和能量守恒求解．