Question

在水平向右的勻強電場中，有一質量為m、帶正電的小球，用長為L的絕緣細線懸掛于O點，當小球處于A點時靜止，細線與豎直方向夾角為a（如圖所示），現在A點給小球一個垂直于懸線的初速度v₀，使小球恰能在豎直平面內做圓周運動，求：
（1）在A點給小球的初速度v₀多大？
（2）此過程中小球所受的最大拉力與最小拉力之差為多大？

Answer 1

分析：（1）對小球受力分析，求出小球受到的電場力與重力的合力，小球恰好完成圓周運動，在平衡位置關于圓心對稱的位置上（等效物理最高點），小球做圓周運動的向心力由重力與電場力的合力提供，此時小球速度最小，由牛頓第二定律可以求出最小速度．由動能定理可以求出小球的最小初速度．
（2）在平衡位置小球所受的拉力最大，在等效最高點小球所受的拉力最小，根據牛頓第二定律求出最大和最小拉力，即可求解拉力之差．

解答：解：（1）在A位置，如圖所示，根據平衡條件得：
重力與電場力的合力為 F=

mg

cosα

，
電場力為 F_電=mgtanα
小球恰好做圓周運動，在A點關于圓心對稱的點（設為B點），由重力與電場力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  F=m

v2

L

，
解得小球的最小速度 v=

gL cosα

；
從A到B點，由動能定理可得：
-mg?2Lcosα-mgtanα×2Lsinα=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²，
解得：v₀=

5gL cosα

；
所以小球運動過程中的最小速度值為v₀

5gL cosα

．
（2）在A點，小球的速度最大，小球所受的拉力最大，根據牛頓第二定律得：
  T_A-F=m

v 2 0

L

在B點，小球的速度最小，小球所受的拉力最小，而且為0．
所以過程中小球所受的最大拉力與最小拉力之差為
△T=T_A-0=F+m

v 2 0

L

=

mg

cosα

+m

( 5gL cosα )2

L

=

6mg

cosα

．
答：
（1）在A點給小球的初速度v₀為

5gL cosα

．
（2）此過程中小球所受的最大拉力與最小拉力之差為

6mg

cosα

．

點評：解決本題關鍵找到等效物理最高點，明確臨界條件，再根據牛頓第二定律和動能定理結合求解．