Question

8．如圖為皮帶傳送裝置的示意圖，傳送帶足夠長，傾角θ=37°，傳送帶正在以v=2m/s的恒定速率逆時針轉動；在傳送帶底端將一物塊以大小為v₀=8m/s初速度滑上傳送帶，物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5．求：（g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）物塊沿著傳送帶能夠上滑的最大位移；
（2）物塊從開始到滑回傳送帶底端，共用多少時間．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求上滑的加速度，再由速度位移公式求最大位移；
（2）滑塊在傳送帶上向上運動的時間，向下做勻加速直線，速度相等后以另一加速度繼續做勻加速直線運動，根據運動學公式求出各個階段的時間，即可求出總時間；

解答 解：（1）物塊向上勻減速到零、設加速度為a₁、位移為s₁、時間為t₁
由牛頓第二定律：$mgsinθ+μmgcosθ=m{a}_{1}^{\;}$              ①
解得     ${a}_{1}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$                   
由速度位移公式：${v}_{0}^{2}=2{a}_{1}^{\;}{s}_{1}^{\;}$                    ②
得   ${s}_{1}^{\;}=3.2m$
（2）上滑時間：${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=0.8s$                         ③
物塊反向加速到與傳送帶速度相同
      ${a}_{2}^{\;}={a}_{1}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$                ④
下滑到與傳送帶速度相等   ${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=0.2s$                  ⑤
  下滑勻加速位移    ${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}=0.2m$               ⑥
又因為μ＜tanθ 所以物塊繼續勻加速
     $mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{3}^{\;}$        ⑦
得    ${a}_{3}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$                              
到達地面過程
    ${s}_{1}^{\;}-{s}_{2}^{\;}=v{t}_{3}^{2}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$                ⑧
得${t}_{3}^{\;}=1s$
所以從開始到物塊滑回傳送帶底端，物塊共用時
 $t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=2s$                      ⑨
答：（1）物塊沿著傳送帶能夠上滑的最大位移3.2m；
（2）物塊從開始到滑回傳送帶底端，共用2s時間

點評 解決本題的關鍵理清物體在整個過程中的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解，求出各段過程中的加速度是關鍵．