Question

（2010?山東）如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，寬度為d，兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、帶電量+q、重力不計(jì)的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，此后粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)．已知粒子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推．求
（1）粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁．
（2）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．
（3）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n．
（4）假設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零．請(qǐng)畫出從粒子第一次射入磁場(chǎng)至第三次離開電場(chǎng)的過程中，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線（不要求寫出推導(dǎo)過程，不要求標(biāo)明坐標(biāo)刻度值）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程的末速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁．
（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)和穿出電場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)的加速度，由（2）結(jié)論，由速度公式求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n．
（4）根據(jù)E_n的表達(dá)式，分別求出粒子前三次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，再作圖．

解答：解：（1）設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑為R_n，速度為v_n，
      由牛頓第二定律得
          qvnB=m

v 2 n

Rn

…①
       由①式得   vn=

qBRn

m

…②
       因?yàn)镽₂=2R₁，
       所以V₂=2v₁…③
      對(duì)粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程，
      由動(dòng)能定理得W1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…④
      聯(lián)立③④式得W1=

3m v 2 1

2

…⑤
    （2）粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為v_n，穿出電場(chǎng)時(shí)速度為v_n+1，
        由題意知  V_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥
        由動(dòng)能定理得
        qEnd=

1

2

m

v

2 n+1

-

1

2

m

v

2 n

…⑦
      聯(lián)立⑥⑦式得
        En=

(2n+1)m v 2 1

2qd

…⑧
     （3）設(shè)粒子第n次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，
      由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨
      由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v_n+1-v_n=a_nt_n…⑩
      聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩式得
     tn=

2d

(2n+1)v1

     （4）

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是功常用的方法．