Question

如圖所示，質量m_B=3.5kg的物體B通過一輕彈簧固連在地面上，彈簧的勁度系數k=100N/m．一輕繩一端與物體B連接，繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪O₁、O₂后，另一端與套在光滑直桿頂端的、質量m_A=1.6kg的小球A連接．已知直桿固定，桿長L為0.8m，且與水平面的夾角θ=37°．初始時使小球A靜止不動，與A端相連的繩子保持水平，此時繩子中的張力F為45N．已知AO₁=0.5m，重力加速度g取10m/s²，繩子不可伸長．現將小球A從靜止釋放，則：
（1）在釋放小球A之前彈簧的形變量；
（2）若直線CO₁與桿垂直，求物體A運動到C點的過程中繩子拉力對物體A所做的功；
（3）求小球A運動到底端D點時的速度．

Answer 1

分析：（1）釋放A球前，系統處于靜止狀態，隔離物體B便可求出彈簧的彈力，進而由胡克定律求得彈簧的形變量
（2）小球運動到C點的過程中，繩的拉力為變力，應用動能定理求解變力的功，同時考慮A、B、彈簧組成的相互作用的系統機械能守恒
（3）A球的下降過程，A、B、彈簧組成的相互作用的系統機械能守恒，注意A、B的速度之間的牽連關系，列出機械能守恒的方程可解．

解答：解：（1）釋放小球前，B處于靜止狀態，由于繩子拉力大于重力，故彈簧被拉伸，設彈簧形變量為x有：
kx=F-m_Bg
所以，x=0.1m
（2）對A球從頂點運動到C的過程應用動能定理得：
W+m_Agh=

1

2

m_A

v

2 A

-0①
其中，h=xco1cos37°
而xco1=xAO1sin37°=0.3m
物體B下降的高度h^′=xAO1-xco1=0.2m②
由此可知，彈簧此時被壓縮了0.1m，此時彈簧彈性勢能與初狀態相等，對于A、B、和彈簧組成的系統機械能守恒：
m_Agh+m_Bgh^′=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

③
由題意知，小球A運動方向與繩垂直，此瞬間B物體速度v_B=0④
由①②③④得，W=7J
（3）由題意知，桿長L=0.8m，故∠CDO₁=θ=37°
故DO₁=AO₁，當A到達D時，彈簧彈性勢能與初狀態相等，物體B又回到原位置，在D點對A的速度沿平行于繩和垂直于繩兩方向進行分解，
可得，平行于繩方向的速度即為B的速度，由幾何關系得：

v

′ B

=

v

′ A

cos37°⑤
對于整個下降過程由機械能守恒得：m_AgLsin37°=

1

2

m_A

v

′2 A

+

1

2

m_B

v

′2 B

⑥
由⑤⑥得：

v

′ A

=2m/s
答：（1）彈簧形變量為0.1m
（2）繩子拉力對物體A所做的功7J
（3）小球A運動到底端D點時的速度為2m/s

點評：涉及彈簧的問題往往要向機械能守恒定律方向考慮，注意一個彈簧的彈性勢能僅僅由其形變量決定，與是拉伸還是壓縮無關；不在同一直線的連接體的運動，要運用運動的分解的辦法解決兩者的速度間的關系，往往將速度沿著繩的方向與垂直于繩的方向分解