Question

如圖所示，兩根完全相同的“V”字形導軌OPQ與KMN倒放在絕緣水平面上，兩導軌都在豎直平面內且正對、平行放置，其間距為L，電阻不計．兩條導軌足夠長，所形成的兩個斜面與水平面的夾角都是α．兩個金屬棒ab和a′b′的質量都是m，電阻都是R，與導軌垂直放置且接觸良好．空間有豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B．
（1）如果兩條導軌皆光滑，讓a′b′固定不動，將ab釋放，則ab達到的最大速度是多少？
（2）如果將ab與a′b′同時釋放，它們所能達到的最大速度分別是多少？
（3）如果ab可無摩擦滑動，a′b′與導軌間的動摩擦因數為μ，則ab由靜止下滑至速度多大時再釋放a′b′，a′b′仍可保持靜止？

Answer 1

分析：（1）當ab棒所受合力為零，ab達到最大速度，結合切割產生的感應電動勢公式、閉合電路歐姆定律求出ab棒的最大速度．
（2）若將ab、a'b'同時釋放，因兩邊情況相同，所以達到的最大速度大小相等，這時ab、a'b'都產生感應電動勢而且是串聯．結合切割產生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出最大速度．
（3）當a′b′所受的最大靜摩擦力向上時，ab棒具有最小速度．當a′b′所受的最大靜摩擦力向下時，ab棒具有最大速度．結合共點力平衡、閉合電路歐姆定律、切割產生的感應電動勢公式求出速度的范圍．

解答：解：（1）ab運動后切割磁感線，產生感應電流，而后受到安培力，當受力平衡時，加速度為0，速度達到最大，受力情況如圖1所示．則：
mgsinα=F_安cosα
又F_安=BIL
I=

E感

2R

E_感=BLv_mcosα
聯立上式解得vm=

2mgRsinα

B2L2cos2α

．
（2）若將ab、a'b'同時釋放，因兩邊情況相同，所以達到的最大速度大小相等，這時ab、a'b'都產生感應電動勢而且是串聯．
∴mgsinα=F_安′cosα
F_安′=BI′L
I′=

2BL v ′ m cosα

2R

∴

v

′ m

=

mgRsinα

B2L2cos2α

（3）當a′b′所受的最大靜摩擦力向上時，ab棒具有最小速度，受力如圖（2）所示．
對a′b′棒有：mgsinα=F_安cosα+f
f=μ（mgcosα+F_Asinα）
E_感=BLv₁cosα
F_安=BIL
I=

E感

2R

聯立解得：v1=

2mgR(sinα-μcosα)

B2L2cosα(cosα+μsinα)

當a′b′所受的最大靜摩擦力向下時，ab棒具有最大速度受力圖如圖（3）所示．
mgsinα=F_安cosα-f
f=μ（mgcosα+F_Asinα）
E_感=BLv₂cosα
F_安=BIL
I=

E感

2R

解得v2=

2mgR(sinα+μcosα)

B2L2cosα(cosα-μsinα)

．
所以

2mgR(sinα-μcosα)

B2L2cosα(cosα+μsinα)

≤V≤

2mgR(sinα+μcosα)

B2L2cosα(cosα-μsinα)

答：（1）ab達到的最大速度是vm=

2mgRsinα

B2L2cos2α

．
（2）如果將ab與a′b′同時釋放，它們所能達到的最大速度都是

v

′ m

=

mgRsinα

B2L2cos2α

．
（3）ab由靜止下滑至速度范圍為

2mgR(sinα-μcosα)

B2L2cosα(cosα+μsinα)

≤V≤

2mgR(sinα+μcosα)

B2L2cosα(cosα-μsinα)

，再釋放a′b′，a′b′仍可保持靜止．

點評：本題綜合考查了切割產生的感應電動勢公式、閉合電路歐姆定律、共點力平衡等知識，綜合性較強，需加強訓練．