Question

（15分）如圖所示，質量M = 4.0 kg的長木板B靜止在光滑的水平地面上，在其右端放一質量m = 1.0 kg的小滑塊A（可視為質點）。初始時刻，A、B分別以v₀ = 2.0m/s向左、向右運動，最后A恰好沒有滑離B板。已知A、B之間的動摩擦因數μ = 0.40，取g =10m/s²。求：

⑴A、B相對運動時的加速度a_A和a_B的大小與方向；

⑵A相對地面速度為零時，B相對地面運動已發生的位移x；

⑶木板B的長度l。

 

Answer 1

【答案】

（1）a_A= 4.0m/s²  方向水平向右    a_B=1.0m/s²   方向水平向左（2）x = v₀t-a_Bt² = 0.875m（3）1.6m

【解析】

試題分析：⑴A、B分別受到大小為μmg的力的作用，根據牛頓第二定律

對A物體：μmg = ma_A           1分

則a_A = μg = 4.0m/s²          1分

方向水平向右          1分

對B物體：μmg = Ma_B               1分

則a_B =μmg /M = 1.0m/s²                 1分

方向水平向左                      1分

⑵開始階段A相對地面向左做勻減速運動，速度為0的過程中所用時間為t₁，則

v₀ = a_At₁，則t₁ = v₀/a_A = 0.50s         1分

B相對地面向右做減速運動x = v₀t-a_Bt² = 0.875m       1分

⑶A向左勻減速運動至速度為零后，相對地面向右做勻加速運動，

加速度大小仍為a_A = 4.0m/s²；

B板向右仍做勻減速運動，

加速度大小仍a_B = 1.0m/s²；        1分

當A、B速度相等時，A相對B滑到最左端，恰好不滑出木板，

故木板B的長度為這個全過程中A、B間的相對位移；       1分

在A相對地面速度為零時，B的速度v_B = v₀ – a_Bt₁ = 1.5m/s        1分

設由A速度為零至A、B相等所用時間為t₂，則 a_At₂ = v_B – a_Bt₂，

解得t₂ = v_B/(a_A + a_B) = 0.3s；

共同速度v = a_At₂ = 1.2m/s          1分

A向左運動位移x_A = (v₀－ v)(t₁ + t₂)/2 = (2 – 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m = 0.32m      1分

B向右運動位移x_B = (v₀+ v) (t₁ + t₂)/2 = (2 + 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m 1.28m       1分

B板的長度l = x_A + x_B = 1.6m       1分

（其他：能量守恒定律μmgl=(M + m)v₀²–(M + m)v²，代入數據解得l = 1.6m圖像解法l==1.6m或其他解法正確皆可）

本題是木塊在木板滑動的類型，運用牛頓第二定律、運動學、動量守恒和能量守恒結合求解比較簡便，也可以采用圖象法求解．

考點：牛頓第二定律，勻變速直線運動的速度與時間的關系，勻變速直線運動的位移與時間的關系