Question

如圖所示，豎直放置的氣缸內盛有氣體，上面被一活塞蓋住，活塞通過勁度系數k=600 N/m的彈簧與氣缸相連接，系統處于平衡狀態，已知此時外界大氣壓強p₀=1.00×10⁵ N/m²，活塞到缸底的距離l=0.500 m，缸內橫截面積S=1.00×10^-2 m²，今在等溫條件下將活塞緩慢上提到距缸底為2l處，此時提力為F=500 N，彈簧的原長l₀應為多少？若提力為F=700 N，彈簧的原長l₀又應為多少？

    不計摩擦及活塞和彈簧的質量，并假定在整個過程中，氣缸不漏氣，彈簧都遵從胡克定律。

Answer 1

解析：設彈簧的原長為l₀，氣體原來壓強為p，后來為p′，則由玻意耳定律可得

pl=p′·2l                                                                       ①

在原來狀態下，活塞受力如圖1所示，由力學平衡可得

圖1

pS=p₀S+k(l-l₀)                                                                ②

在后來狀態下,活塞受力如圖2所示,由力學平衡可得

圖2

p′S+F=p₀S+k(2l-l₀)                                                           ③

由①、②、③聯立解得p=                                          ④

由②式得l₀=l+(p₀-p)                                                       ⑤

當F=500 N時，由④式得p=0.4p₀再代入⑤式得l₀=1.50 m，可見在整個過程中彈簧始終處于壓縮狀態。

當F=700 N時，由④式得p=0.8p₀再代入⑤式得l₀=0.833 m，可見在過程開始時彈簧處于壓縮狀態，當活塞提高到距缸底距離超過l₀=0.833 m后，彈簧被拉伸。