Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環形區域內存在垂直紙面向外、大小可調節的均勻磁場．質量為m、電量為+q的粒子可在環中做半徑為R的圓周運動．A、B為兩塊中心開有小孔的極板．原來電勢都為零，每當粒子經過A板時，A板電勢升高為+U，B板電勢仍保持為零，粒子在兩板間電場中得到加速．每當粒子離開B板時，A板的電勢又降為零，粒子在電場一次次加速下動能不斷增大，而繞行的半徑不變．（設極板間距遠小于R）
（1）設t=0時粒子靜止在A板小孔處，經電場加速后，離開B板在環開磁場中繞行，求粒子繞行第1圈時的速度v₁和磁感應強度B₁；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增，求粒子繞行n圈所需的總時間t；
（3）在粒子繞行的整個過程中，A板電勢是否可以始終保持為+U？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，即可求出加速的速度，再由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，即可求解；
（2）通過運動學公式，分別求出經過第1圈的速度及時間，第2圈的速度與時間，及到第n圈的速度與時間，從而求出總時間；
（3）電場力對粒子做功，而洛倫茲力對粒子不做功，所以根據電場力做功之和來確定結果．

解答：解：（1）粒子繞行第一圈電場做功一次，
由動能定理：qU=

1

2

m

v

2 1

即第1次回到B板時的速度為：v1=

2qU m

 
繞行第1圈的過程中，由牛頓第二定律：qB1v1=m

v 2 1

R

  得B1=

1

R

2Um q

（2）粒子在每一圈的運動過程中，包括在AB板間加速過程和在磁場中圓周運動過程．
在AB板間經歷n次加速過程中，因為電場力大小相同，
故有：t1=

s

v1

  tn=

s

vn

  t_總=t₁+t₂+t₃+…+t_n 

由于每一圈速度不同，所以每一圈所需時間也不同．
由第一問題計算可知，第1圈：v1=

2qU m

．
第2圈：v2=

2×2qU m

  
第n圈：.…vn=

2nqU m

則：第1圈：t1=2πR

m 2qU

  
第2圈：t2=2πR

m 2×2qU

  
第n圈：…tn=2πR

m 2nqU

 綜上：繞行n圈過程中在磁場里運動的時間
t總=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

)

（3）不可以，因為這樣粒子在A、B之間飛行時電場力做功qU使之加速，在A、B之外飛行時，電場又對其做功-qU使之減速，粒子繞行一圈，電場對其做的總功為零，能量不會增大．
答：（1）設t=0時粒子靜止在A板小孔處，經電場加速后，離開B板在環開磁場中繞行，則粒子繞行第1圈時的速度：v1=

2qU m

 和磁感應強度B1=

1

R

2Um q

；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增，則粒子繞行n圈所需的總時間間t總=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

)；
（3）不可以，因為這樣粒子在A、B之間飛行時電場力做功qU使之加速，在A、B之外飛行時，電場又對其做功-qU使之減速，粒子繞行一圈，電場對其做的總功為零，能量不會增大．

點評：考查動能定理、牛頓第二定律的理解與應用，掌握運動學公式來計算運動的時間與速度，并分別圈數來確定，同時掌握電場力做功與洛倫茲力不做功的區別．