Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的光滑圓弧軌道AB，與水平地面相切于B點。現將AB鎖定，讓質量為m的小滑塊P（視為質點）從A點由靜止釋放沿軌道AB滑下，最終停在地面上的C點，C、B兩點間的距離為2R．已知軌道AB的質量為2m，P與B點右側地面間的動摩擦因數恒定，B點左側地面光滑，重力加速度大小為g，空氣阻力不計。

（1）求P剛滑到圓弧軌道的底端B點時所受軌道的支持力大小N以及P與B點右側地面間的動摩擦因數μ；

（2）若將AB解鎖，讓P從A點正上方某處Q由靜止釋放，P從A點豎直向下落入軌道，最后恰好停在C點，求：

①當P剛滑到地面時，軌道AB的位移大小x1；

②Q與A點的高度差h以及P離開軌道AB后到達C點所用的時間t。

Answer 1

【答案】（1）P剛滑到圓弧軌道的底端B點時所受軌道的支持力大小N為3mg，P與B點右側地面間的動摩擦因數μ為0.5；（2）若將AB解鎖，讓P從A點正上方某處Q由靜止釋放，P從A點豎直向下落入軌道，最后恰好停在C點，①當P剛滑到地面時，軌道AB的位移大小x1為；②Q與A點的高度差h為，P離開軌道AB后到達C點所用的時間t為。

【解析】

（1）滑塊從A到B過程機械能守恒，應用機械能守恒定律得：mgR=，

在B點，由牛頓第二定律得：N-mg=m，

解得：vB=，N=3mg，

滑塊在BC上滑行過程，由動能定理得：-μmg2R=0-，

代入數據解得：μ=0.5；

（2）①滑塊與軌道組成的系統在水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：

mv1-2mv2=0

m-2m=0，

解得：x1=；

②滑塊P離開軌道AB時的速度大小為vB，P與軌道AB組成的系統在水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：mvB-2mv=0，

由機械能守恒定律得：mg（R+h）=，

解得：h=；

P向右運動運動的時間：t1=，

P減速運動的時間為t2，對滑片，由動量定理得：-μmgt2=0-mvB，

運動時間：t=t1+t2，

解得：t=；