Question

（2011?海淀區(qū)一模）如圖所示，相距為d的狹縫P、Q間存在著方向始終與P、Q平面垂直、電場強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場，且電場的方向按一定規(guī)律分時(shí)段變化．狹縫兩側(cè)均有磁感強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，且磁場區(qū)域足夠大．某時(shí)刻從P平面處由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力），粒子被加速后由A點(diǎn)進(jìn)入Q平面右側(cè)磁場區(qū)，以半徑r₁做圓運(yùn)動，此時(shí)電場的方向已經(jīng)反向，當(dāng)粒子由A₁點(diǎn)自右向左通過Q平面后，使粒子再次被加速進(jìn)入P平面左側(cè)磁場區(qū)做圓運(yùn)動，此時(shí)電場又已經(jīng)反向，粒子經(jīng)半個(gè)圓周后通過P平面進(jìn)入PQ狹縫又被加速，…．以后粒子每次通過PQ間都被加速．設(shè)粒子自右向左穿過Q平面的位置分別是A₁、A₂、A₃、…A_n…，求：
（1）粒子第一次在Q右側(cè)磁場區(qū)做圓運(yùn)動的半徑r₁的大小；
（2）粒子第一次和第二次通過Q平面的位置A₁和A₂之間的距離；
（3）設(shè)A_n與A_n+1間的距離小于r₁/3，則n值為多大．

Answer 1

分析：帶電粒子被電場加速，可以使用動能定理求出它的速度，在磁場中洛倫茲力提供向心力，可以求出粒子的半徑．

解答：解：（1）帶電粒子被電場加速，由動能定理：qEd=

1

2

m

v

2 1

洛倫茲力提供向心力：qv1B=

m v 2 1

r1

解得：r1=

m

qB

2qEd m

（2）帶電粒子第二次被電場加速，由動能定理：qEd=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

洛倫茲力提供向心力：qv2B=

m v 2 2

r2

解得：r2=

m

qB

2×2qEd m

同理，通過A₂時(shí)的半徑：r3=

m

qB

3×2qEd m

=

3

r1
所以：

.

A1A2

=2r3-2r2=2(

3

-

2

)

m

qB

2qEd m

（3）第n次通過Q時(shí)的半徑：r2n-1=

2n-1

r1
第n+1次通過Q時(shí)的半徑：r2n+1=

2n+1

r1
若A_n與A_n+1間的距離小于

r1

3

，即：r2n+1-r2n-1=(

2n+1

-

2n-1

)r1＜

1

3

r1
得：

2n+1

-

2n-1

＜

1

3

當(dāng)n≥5時(shí)，滿足上面的條件．
答：（1）粒子第一次在Q右側(cè)磁場區(qū)做圓運(yùn)動的半徑r1=

m

qB

2qEd m

；
（2）粒子第一次和第二次通過Q平面的位置A₁和A₂之間的距離是2(

3

-

2

)

m

qB

2qEd m

；
（3）設(shè)A_n與A_n+1間的距離小于

1

3

r₁，則n值應(yīng)≥5．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場時(shí)的速度，穿出電場時(shí)速度．動能定理是常用的方法．