Question

如圖所示，將質量為m_A=100g的物體A放在彈簧上端，與彈簧不連接．彈簧下端連接一質量為m_B=200g的物體B，物體B放在地面上．形成豎直方向的彈簧振子，使A上下振動．彈簧原長為5cm，當系統做小振幅簡諧振動時，A的平衡位置離地面為3cm，A、B的厚度可忽略不計，g取10m/s²，求：
（1）彈簧的勁度系數k為多大？
（2）為使A在振動過程中始終不離開彈簧，則振子A的振幅不能超過多大？
（3）若A在振動過程中始終不離開彈簧，當A以最大振幅振動時，B對地面的最大壓力為多大？

Answer 1

分析：物體A放在豎直彈簧上端，而彈簧下端連接物體B，A物體在彈簧的彈力與物體重力共同作用下做簡諧運動．由物體A質量，及彈簧原長和平衡位置，可求出彈簧的勁度系數．物體A始終不離開彈簧，則物體A上升最高點處彈簧恰好處于原長．當物體A以最大振幅振動時，借助于物體A，從而求出物體B對地面的壓力．

解答：解：（1）振幅很小時，A、B間不會分離，將A和B整體作為振子，當它們處于平衡位置時，根據平衡條件得：
k△x=m_Ag
又形變量△x=x_原-h=0.02m
聯立可解得：k=50N/m
（2）在平衡位置時，彈簧的壓縮量為△x=0.02m
要使A振動過程中不離開彈簧，A振動的最高點不能高于彈簧的原長處
所以A振動的振幅的最大值A=△x=0.02m=2cm
（3）A以最大振幅A振動時，振動到最低點，彈簧的壓縮量最大，根據對稱性
此時壓縮量△x′=2A=0.04m=4cm
對B受力分析可得：F_N=m_Bg+k△x′
可解得：F_N=4N
由牛頓第三定律可得，B對地面的最大壓力為F_N′=-F_N=-4N，負號表示方向豎直向下．

點評：物體處于平衡位置即重力與彈力相等的位置，同時當物體A以最大振幅振動時，B對地面的最大壓力，就是彈簧壓縮最短的狀態，因為物體A達到最高處時彈簧處于原長．