Question

豎直平面內的軌道ABC由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧道BC平滑連接組成，軌道放在光滑的水平面上。一個質量為m=1kg的小物塊（可視為質點）從軌道的A端以初速度沖上水平滑道AB，沿著軌道運動，由CB弧滑下后停在水平

滑道AB的中點。已知軌道ABC的質量為M=3kg。求：

   （1）小物塊和滑道相對靜止時共同的速度；

   （2）若小物塊恰好不從C端離開滑道，圓弧滑道的半徑R應是多大？

   （3）若增大小物塊的初速度，使得小物塊沖出軌道后距離水平滑道AB的最大高度是2R，小物塊的初速度應多大。

Answer 1

（1）

（2）

（3）

解析:

（1）小物塊沖上軌道的初速度設為最終停在AB的中點，跟軌道有相同的速度，設為V₁。在這個過程中由系統動量定恒有

                 ①

    可得            ②    （2分）

   （2）小物塊沖上軌道到最終停在AB的中點，設物塊與軌道間滑動摩擦力為，由能量定恒 ③

    若小物塊恰好到達C端，此時它與軌道有共同的速度V₁，在此過程中系統總的動能減少轉化為內能和物塊的勢能

           ④

    由③、④解得，要使物塊恰好不從C點離開滑道，圓弧半徑應為

                ⑤

   （3）設物塊以初速度上軌道，可以在到的最大高度為2R，物塊從C點離開軌道，其水平方向的速度總與軌道速度相等，達到最高點時，物塊水平跟軌道的速度相等（設為V₂）

                 ⑥

      ⑦

    由⑥、⑦可得      ⑧    （5分）