Question

（2012?淮安模擬）如圖所示，固定斜面AB、CD與豎直光滑圓弧BC相切于B、C點，兩斜面的傾角θ=37°，圓弧BC半徑R=2m．一質量m=1kg的小滑塊（視為質點）從斜面AB上的P點由靜止沿斜面下滑，經圓弧BC沖上斜面CD．已知P點與斜面底端B間的距離L₁=6m，滑塊與兩斜面間的動摩擦因數均為μ=0.25，g=10m/s²．求：
（1）小滑塊第1次經過圓弧最低點E時對圓弧軌道的壓力；
（2）小滑塊第1次滑上斜面CD時能夠到達的最遠點Q（圖中未標出）距C點的距離
（3）小滑塊從靜止開始下滑到第n次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程．

Answer 1

分析：（1）對從P運動到E點過程運用動能定理列式求解E點速度；然后在E點，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）根據動能定理列式求解即可；
（3）先找出物體在斜面上滑動位移間的規律，然后分為留在左右兩側討論．

解答：解：（1）小滑塊由P運動到E點：mgL₁sin37°+mgR（1-cos37°）-μmgcos37°L₁=

1

2

m

v

2 E

經E點：FN-mg=m

v 2 E

R

解得：F_N=38N
滑塊對軌道的壓力：F_N′=F_N=38N，方向豎直向下；
（2）設小滑塊在斜面AB上依次下滑的距離分別為L₁、L₂、L₃…，在斜面CD上依次上滑的距離分別為x₁、x₂、x₃…，
小滑塊由P運動到Q點：mg（L₁-x₁）sin37°-μmg（L₁+x₁）cos37°=0
解得 x₁=

L1

2

=3m
（3）同理可得：L₂=

x1

2

，x2=

L2

2

，L₃=

x2

2

，x3=

L3

2

…．
L₁、L₂、L₃…構成公比為

1

4

的等比數列．
設從靜止開始下滑到第n次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程為S_n．
當n為奇數時，總路程
S_n=L₁+2（L₂+L₃+…+L_n）=6+2×

1.5×[1-( 1 4 ) n-1 2 ]

1- 1 4

=（10-2^3-n）m
當n為偶數時，總路程
S_n=L₁+2（L₂+L₃+…+L_n-1）=6+2×

1.5×[1-( 1 4 ) n-2 2 ]

1- 1 4

=（10-2^4-n）m
答：（1）小滑塊第1次經過圓弧最低點E時對圓弧軌道的壓力為38N；
（2）小滑塊第1次滑上斜面CD時能夠到達的最遠點Q（圖中未標出）距C點的距離為3m；
（3）小滑塊從靜止開始下滑到第n次到達B點的過程中在斜面AB上運動通過的總路程為（10-2^3-n）m 或者（10-2^4-n）m．

點評：本題關鍵要多次根據動能定理列式求解，對于第三問，關鍵找出重復性規律，然后分兩種情況討論，要有一定的熟悉處理能力．