Question

（20分）圖預20-7-1中  A和B是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板、加上周期為T的交流電壓，在兩板間產生交變的勻強電場．己知B板電勢為零，A板電勢U_A隨時間變化的規(guī)律如圖預20-7-2所示，其中U_A的最大值為的U₀，最小值為一2U₀．在圖預20-7-1中，虛線MN表示與A、B扳平行等距的一個較小的面，此面到A和B的距離皆為l．在此面所在處，不斷地產生電量為q、質量為m的帶負電的微粒，各個時刻產生帶電微粒的機會均等．這種微粒產生后，從靜止出發(fā)在電場力的作用下運動．設微粒一旦碰到金屬板，它就附在板上不再運動，且其電量同時消失，不影響A、B板的電壓．己知上述的T、U₀、l，q和m等各量的值正好滿足等式

                              

若在交流電壓變化的每個周期T內，平均產主320個上述微粒，試論證在t＝0到t＝T／2這段時間內產主的微粒中，有多少微粒可到達A板（不計重力，不考慮微粒之間的相互作用）。

    

Answer 1

參考解答

在電壓為時，微粒所受電場力為，此時微粒的加速度為。將此式代入題中所給的等式，可將該等式變?yōu)?/p>

                               （1）

現在分析從0到時間內，何時產生的微粒在電場力的作用下能到達A板，然后計算這些微粒的數目。

在時產生的微粒，將以加速度向A板運動，經后，移動的距離與式（1）相比，可知

                               （2）

即時產生的微粒，在不到時就可以到達A板。在的情況下，設剛能到達A板的微粒是產生在時刻，則此微粒必然是先被電壓加速一段時間，然后再被電壓減速一段時間，到A板時剛好速度為零。用和分別表示此兩段時間內的位移，表示微粒在內的末速，也等于后一段時間的初速，由勻變速運動公式應有

                                              （3）

                            （4）

又因

                        ，                               （5）

                      ，                               （6）

                  ，                              （7）

由式（3）到式（7）及式（1），可解得

                 ，                                  （8）

這就是說，在的情況下，從到這段時間內產生的微粒都可到達A板（確切地說，應當是）。

為了討論在這段時間內產生的微粒的運動情況，先設想有一靜止粒子在A板附近，在電場作用下，由A板向B板運動，若到達B板經歷的時間為，則有

             

根據式（1）可求得

                          

由此可知，凡位于到A板這一區(qū)域中的靜止微粒，如果它受的電場作用時間大于，則這些微粒都將到達B板。

在發(fā)出的微粒，在的電場作用下，向A板加速運動，加速的時間為，接著在的電場作用下減速，由于減速時的加速度為加速時的兩倍，故經過微粒速度減為零。由此可知微粒可繼續(xù)在的電場作用下向B板運動的時間為

        

由于，故在時產生的微粒最終將到達B板（確切地說，應當是），不會再回到A板。

在大于但小于時間內產生的微粒，被的電場加速的時間小于，在的電場作用下速度減到零的時間小于，故可在的電場作用下向B板運動時間為

 

所以這些微粒最終都將打到B板上，不可能再回到A板。

由以上分析可知，在到時間內產生的微粒中，只有在到時間內產生的微粒能到達A板，因為各個時刻產生帶電微粒的機會均等，所以到達A板的微粒數為

                                              （9）

評分標準：本題20分。

論證在到時間內產生的微粒可能到達A板給10分；論證到時間內產生的微粒不能到達A板給6分。求得最后結果式（9）再給4分。