Question

如圖所示，K是粒子發(fā)生器，D₁、D₂、D₃是三塊擋板，通過傳感器可控制它們定時(shí)開啟和關(guān)閉，D₁、D₂的間距為L，D₂、D₃的間距為

L

2

．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系Oxy中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，y軸和直線MN是它的左、右邊界，且MN平行于y軸．現(xiàn)開啟擋板D₁、D₃，粒子發(fā)生器僅在t=0時(shí)刻沿x軸正方向發(fā)射各種速率的粒子，D₂僅在t=nT（n=0，1，2…T為已知量）時(shí)刻開啟，在t=5T時(shí)刻，再關(guān)閉擋板D₃，使粒子無法進(jìn)入磁場區(qū)域．已知擋板的厚度不計(jì)，粒子帶正電，不計(jì)粒子的重力，不計(jì)粒子間的相互作用，整個(gè)裝置都放在真空中．
（1）求能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的粒子的速度大小；
（2）已知從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為（0，2cm）的P點(diǎn)，應(yīng)將磁場邊界MN在Oxy平面內(nèi)如何平移，才能使從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場中速度最大的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為（3

3

cm，6cm）的Q點(diǎn)？
（3）磁場邊界MN平移后，進(jìn)入磁場中速度最大的粒子經(jīng)過Q點(diǎn)．如果L=6cm，求速度最大的粒子從D₁運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

（1）設(shè)能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的粒子的速度大小為v_m，由題意，粒子由D₁到D₂經(jīng)歷的時(shí)間為：△t1=mT=

L

vm

（m=1、2…）
粒子由D₂到D₃經(jīng)歷的時(shí)間為：△t2=

L

2vm

=

mT

2

t=5T時(shí)刻，擋板D₃關(guān)閉，粒子無法進(jìn)入磁場，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T
聯(lián)立以上三式解得：m=1、2、3
所以，能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的粒子的速度為：
vm=

L

mT

（m=1、2、3）
（2）進(jìn)入磁場中速度最小的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為（0cm，2cm）的P點(diǎn)，所以R=1cm．粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力為：qvB=m

v2

R

所以，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R=

mv

Bq

由前可知，進(jìn)入磁場中粒子的最大速度是最小速度的3倍，故：R′=3R=3cm
由圖知：3cosθ+FH=3

3

FH=（6-3+3sinθ）tanθ　　
解得：θ=30⁰ FH=

3 3

2

cm
因此，只要將磁場區(qū)域的邊界MN平行左移

3 3

2

cm到F點(diǎn)，速度最大的粒子在F點(diǎn)穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達(dá)Q點(diǎn)．
（3）粒子在K到O之間運(yùn)動(dòng)時(shí)：v=

L

T

得：t1=

3

2

T
粒子 磁場中的運(yùn)動(dòng)：t2=

πR

3v

=

πT

6

粒子從F到Q點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間：t3=

FH

sinθ?v

=

3

2

T
解得：t=t1+t2+t3=(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T
答：（1）能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的粒子的速度大小為vm=

L

mT

（m=1、2、3）；
（2）只要將磁場區(qū)域的邊界MN平行左移

3 3

2

cm到F點(diǎn)，速度最大的粒子在F點(diǎn)穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達(dá)Q點(diǎn)；
（3）磁場邊界MN平移后，進(jìn)入磁場中速度最大的粒子經(jīng)過Q點(diǎn)．如果L=6cm，求速度最大的粒子從D₁運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為(

3

2

+

π

6

+

3

2

)T