Question

22.一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動，開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示.現用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑r＝0.100 m，井的半徑R＝2 r，水的密度＝1.00×10³ kg/m³，大氣壓p₀＝1.00×10³ Pa，求活塞上升H＝9.00 m的過程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長，不計活塞質量，不計磨擦，重力加速度g＝10 m/s².）

Answer 1

22.參考解答：

   從開始提升到活塞升至內外水面高度差為h₀＝＝10 m的過程中，活塞始終與管內液體接觸.（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現真空，另行討論.）設活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，

       

h₀＝h₁＋h₂

                                                                                                                                                 

     因液體體積不變，有

        h₂＝h₁（）＝h₁                                             

     得      h₁＝h₀＝×10 m＝7.5 m                                          

     題給H＝9 m>h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程.

     活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他力所做的功.因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即

ΔE＝（r²h₁）g                                               

其他力有管內、外的大氣壓力和拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓力做的總功

p₀（R²－r²）h₂－p₀r²h₁＝0，

故外力做功就只是拉力F做的功，

由功能關系知W₁＝ΔE                                                                             

     即　　　W₁＝(r²)gh＝r²＝1.18×10⁴ J                 

活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F是恒力F＝r²p₀，

做功  W₂＝F(H－h₁)＝r²p₀(H－h₁)＝4.71×10³ J                                            

     所求拉力F做的總功為W₁＋W₂＝1.65×10⁴ J