Question

圖1所示是用電動砂輪打磨工件的裝置．砂輪的轉軸通過圖中O點垂直于紙面，AB是一長度l=0.50m、質量m₁=1kg的均勻剛性細桿，可繞過A端的固定軸在豎直面（圖中紙面）內無摩擦地轉動．工件C固定在AB桿上，其質量m₂=2kg，工件的重心、工件與砂輪的接觸點P以及O點都在過AB中點的豎直線上，P到AB桿的垂直距離d=0.1m．AB桿始終處于水平位置，砂輪與工件之間的動摩擦系數μ=0.5．當砂輪逆時針轉動時，要使工件對砂輪的壓力F₀=80N，則施于B端豎直向下的力F_B應是多大？（g取10m/s²）
某同學解法如下：當砂輪靜止時，把AB桿和工件看成一個物體，由力矩的平衡，得：F0

l

2

+μF0d=(m1+m2)g

l

2

+FBl
解得：FB=

1

2

[F0-(m1+m2)g]+μF0

d

l

（1）判斷該同學的解法是否正確？若正確，請求出F_B的數值；若錯誤，請列出正確的方程式，并求出F_B的數值．
（2）若施于B端豎直向下的力F_B的作用點沿AB桿以0.1m/s的速度向左勻速運動，要保持工件對砂輪的壓力F₀仍為80N，則求出F_B隨時間變化的函數關系式．
（3）若F_B=200N時桿會斷裂，求F_B從B點開始運動的時間，并在圖2中作出F_B-t圖象．

Answer 1

（1）該解法錯誤．    
砂輪作用于工件的摩擦力的力矩方向為順時針方向．得：F0

l

2

=μF0d+(m1+m2)g

l

2

+FBl
解得：FB=

1

2

[F0-(m1+m2)g]-μF0

d

l

代入數據，得：F_B=17N
（2）經過時間t，推力作用點左移vt，根據力矩平衡條件，有
F0

l

2

=μF0d+(m1+m2)g

l

2

+FB(l-Vt)
解得：FB=

17

1-0.2t

（N）  （0≤t＜5s）       
（3）FB=

17

1-0.2t

=200N，則：t=4.575s
如圖所示



答：（1）該同學的解法是錯誤的，正確解法如上，F_B的數值為17N；
（2）若F_B隨時間變化的函數關系式為：FB=

17

1-0.2t

（N） （0≤t＜5s）；
（3）F_B從B點開始運動的時間為4.575s，F_B-t圖象如上．