Question

3．水平面上有一木板，質量為M=2kg，板左端放有質量為m=1kg的物塊（視為質點），已知物塊與木板間動摩擦因數為μ₁=0.2，木板與水平面間的動摩擦因數為μ₂=0.4．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²．
（1）現用水平力F拉動木板，為使物塊與木板一起運動而不相對滑動，求拉力F的大小范圍？
（2）若拉動木板的水平力F=15N，由靜止經時間t₁=4s立即撤去拉力F，再經t₂=1s物塊恰好到達板右端，求板長L=？

Answer 1

分析 （1）物塊與木塊一起運動，拉力F必須大于木板與地面之間的最大靜摩擦力，當m與M之間的摩擦力達到最大靜摩擦力時，拉力F達到最大值；
（2）拉動木板的水平力F=15N，在第（1）問拉力的范圍內，整體先做勻加速運動，撤去F后，m向右勻減速，M向右勻減速，當M靜止后，m繼續向右勻減速到木板右端，求出木板靜止前的相對位移和木板靜止后物塊的位移，即可求出木板的長度；

解答 解：（1）M與地面之間的最大靜摩擦力${f}_{1}^{\;}={μ}_{2}^{\;}（M+m）g=0.4×（2+1）×10=12N$
當M、m整體一起向右勻加速運動時，當m與M的靜摩擦力達到最大靜摩擦力時，拉力F最大
對m：${μ}_{1}^{\;}mg=ma$①得$a={μ}_{1}^{\;}g=0.2×10m/{s}_{\;}^{2}=2m/{s}_{\;}^{2}$
對整體：$F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）a$②
代入數據：F-12=（2+1）×2
解得：F=18N
所以拉力F大小范圍是12N＜F≤18N
（2）拉動木板的水平力F=15N，M、m一起勻加速運動
根據牛頓第二定律：$a=\frac{F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g}{M+m}=\frac{15-12}{2+1}m/{s}_{\;}^{2}=1m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=4s$時速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=1×4m/s=4m/s$
撤去F后，物塊加速度${a}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
對木板：${μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$，
代入數據：$0.2×10-12=2{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=-5m/{s}_{\;}^{2}$
木板向右速度減為0的時間
根據題意t₂=1s物塊恰好到達板右端
${t}_{1}^{\;}=\frac{0-{v}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{0-4}{5}s=0.8s$
在${t}_{1}^{\;}$時間內物塊的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$═$4×0.8-\frac{1}{2}×2×0．{8}_{\;}^{2}=2.56m$
木板的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4}{2}×0.8=1.6m$
物塊相對木板的位移$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=2.56-1.6=0.96m$
根據題意撤去力F后，再經t₂=1s物塊恰好到達板右端
所以木板靜止后，木塊繼續運動o.2s
${t}_{1}^{\;}=0.8s$時物塊的速度${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=4-4×0.8=0.8m/s$
$△x′={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}$=$0.8×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}_{\;}^{2}=0.12m$
木板長：L=△x+△x′=0.96+0.12=1.08m
答：（1）現用水平力F拉動木板，為使物塊與木板一起運動而不相對滑動，拉力F的大小范圍為12N＜F≤18N
（2）若拉動木板的水平力F=15N，由靜止經時間t₁=4s立即撤去拉力F，再經t₂=1s物塊恰好到達板右端，板長L為1.08m

點評 解題的關鍵是正確對滑塊和木板進行受力分析，清楚滑塊和木板的運動情況，根據牛頓第二定律及運動學基本公式求解，難度適中．