Question

【題目】如圖所示，有一個可視為質點的質量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v0=3m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M=3kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計空氣阻力，取重力加速度為g=10m/s2 ． 求：

（1）AC兩點的高度差；
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的最小長度．（sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

【答案】
（1）

解：小物塊在C點速度大小為：vC= =5 m/s，

豎直分量：vCy=4 m/s

下落高度：h= =0.8m

答： AC兩點的高度差為0.8m．

（2）

小物塊由C到D的過程中，由動能定理得：

mgR（1﹣cos 53°）=

解得：vD= m/s

小球在D點時由牛頓第二定律得：FN﹣mg=m

代入數據解得：FN=68N

由牛頓第三定律得FN′=FN=68N，方向豎直向下

答：小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為68N．

（3）

設小物塊剛滑到木板左端達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為：

a1=μg=3 m/s2，a2= =1 m/s2

速度分別為：v=vD﹣a1t，v=a2t

對物塊和木板系統，由能量守恒定律得：

μmgL= mvD2﹣ （m+M） v2

解得：L=3.625 m，即木板的長度至少是3.625 m

答:木板的最小長度為3.625m．

【解析】（1）小球從A點拋出做平拋運動，將C點的速度進行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據豎直方向上的運動規律求出AC兩點的高度差．（2）求出C點的速度，對C到D運用動能定理求出到達D點的速度，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．（3）當小物塊剛好不從長木板滑出時，與木板具有相同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式求出共同的速度，因為摩擦力與相對路程的乘積等于產生的熱量，結合能量守恒定律求出木板的長度．
【考點精析】關于本題考查的牛頓第三定律和平拋運動，需要了解牛頓第三運動定律指出了兩物體之間的作用是相互的，因而力總是成對出現的，它們總是同時產生，同時消失；作用力和反作用力總是同種性質的力；作用力和反作用力分別作用在兩個不同的物體上，各產生其效果，不可疊加；特點:①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動；運動規律:平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動才能得出正確答案．