Question

受控核聚變過程中可釋放出巨大的內(nèi)能，對于參與核聚變的帶電粒子而言，沒有通常意義上的“容器”可裝．科技工作者設(shè)計(jì)出了一種利用磁場約束帶電粒子運(yùn)動，使參與核聚變的帶電粒子約束在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的控制方案，這個(gè)方案的核心可簡化為如下的模型：如圖所示是一個(gè)截面為內(nèi)徑R₁=0.10m、外徑R₂=0.20m的環(huán)狀區(qū)域，O點(diǎn)為該環(huán)狀區(qū)域的圓心，區(qū)域內(nèi)有垂直于截面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T．將帶電粒子源置于環(huán)狀區(qū)域內(nèi)側(cè)的A點(diǎn)（位于O點(diǎn)的正下方），若帶電粒子源能沿垂直磁場方向連續(xù)地向各個(gè)方向射出氦核，已知氦核的比荷q/m=4.8×10⁷C/kg，不計(jì)帶電粒子之間的相互作用力及其所受的重力．
（1）若氦核從A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小為4.8×10⁵m/s，則它在磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的半徑為多大？
（2）若某氦核從A點(diǎn)射出后，恰好能沿磁場區(qū)域的內(nèi)側(cè)運(yùn)動，則此氦核由A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小和方向如何？
（3）假設(shè)粒子源向各個(gè)方向射出的氦核的最大速率都相同，若要使射入磁場的所有氦核都不能穿出磁場外邊界，求氦核的最大速率．

Answer 1

分析：（1）氦核從A點(diǎn)射出后，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律求出半徑r．
（2）氦核從A點(diǎn)射出后，恰好能沿磁場區(qū)域的內(nèi)側(cè)運(yùn)動，軌跡半徑為R₁=0.10m．根據(jù)左手定則可判斷氦核在A點(diǎn)的速度方向．
（3）粒子沿環(huán)狀域的內(nèi)圓的切線方向射入磁場，軌道與外圓相切時(shí)，此時(shí)的軌道半徑最大，此時(shí)粒子若不能出磁場，則所以粒子都不會出磁場，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，再通過軌道半徑公式求出最大的速度．

解答：解：（1）設(shè)氦核質(zhì)量為m，電荷為q，以速度v在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：
   qvB=

mv2

r

解得：r=

mv

qB

=2.0×10^-2m
（2）因氦核帶正電，且在磁場中做半徑為R₁的勻速圓周運(yùn)動，所受洛侖茲力一定指向O點(diǎn)，根據(jù)左手定則可判斷出，氦核在A點(diǎn)的速度方向?yàn)樗�平向右�?br />設(shè)此時(shí)氦核的速度為大小為v₁，則由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：
  qvB=

mv2

R1

解得：v₁=

qBR1

m

=2.4×10⁶m/s．
（3）當(dāng)氦核以v_m的速度沿與內(nèi)圓相切的方向射入磁場且軌道與外圓相切時(shí)，則以速度v_m沿各方向射入磁場區(qū)的氦核都不能穿出磁場外邊界．由答圖3中知此氦核的半徑
   r′=

R2-R1

2

=0.05m．
由 qvB=

mv2

r

，得 r=

mv

qB

，
在速度為v_m時(shí)不穿出磁場外邊界應(yīng)滿足的條件是
 

mvm

qB

≤r′
所以 v_m≤

qBr′

m

=1.2×10⁶m/s．

答：
（1）它在磁場區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的半徑為2.0×10^-2m．
（2）氦核由A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小為2.4×10⁶m/s，氦核在A點(diǎn)的速度方向?yàn)樗�平向右�?br />（3）氦核的最大速率是1.2×10⁶m/s．．

點(diǎn)評：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運(yùn)動的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．