Question

（20分）一個質量為m₁的廢棄人造地球衛星在離地面h=800km高空作圓周運動，在某處和一個質量為m₂＝的太空碎片發生迎頭正碰，碰撞時間極短，碰后二者結合成一個物體并作橢圓運動。碰撞前太空碎片作橢圓運動，橢圓軌道的半長軸為7500km，其軌道和衛星軌道在同一平面內。已知質量為m的物體繞地球作橢圓運動時，其總能量即動能與引力勢能之和，式中G是引力常量，M是地球的質量，a為橢圓軌道的半長軸．設地球是半徑R=6371km的質量均勻分布的球體，不計空氣阻力。資.源.網

（i）試定量論證碰后二者結合成的物體會不會落到地球上。.考.資.源.網

（ii）如果此事件是發生在北級上空（地心和北極的連線方向上），碰后二者結合成的物體與地球相碰處的緯度是多少？

Answer 1

解析：

（i）圖1為衛星和碎片運行軌道的示意圖。以v₁表示碰撞前衛星作圓周運動的速度，以M表示地球E的質量，根據萬有引力定律和牛頓定律有

                      （1）

式中G是引力常量．由（l）式得

               （2）高.考.資.源.網

以v₂表示剛要碰撞時太空碎片的速度，因為與衛星發生碰撞時，碎片到地心的距離等于衛星到地心的距離，根據題意，太空碎片作橢圓運動的總能量

               （3）

式中a為橢圓軌道的半長軸．由（3）式得

    （4）

衛星和碎片碰撞過程中動量守恒，有

      m₁v₁－m₂v₂=(m₁+m₂)v                       （5）

這里v是碰后二者結合成的物體（簡稱結合物）的速度．由（5）式得

                                 （6）

由（2）、（4）、（6）三式并代人有關數據得

                                （7）

結合物能否撞上地球，要看其軌道（橢圓）的近地點到地心的距離r_min，如果r_min<R，則結合物就撞上地球．為此我們先來求結合物軌道的半長軸a '。結合物的總能量

             （8）

代人有關數據得   a '=5259km                       （9）

結合物軌道的近地點到地心的距離

r_min=2 a '－（R+h）=3347km<R                （10）

據此可以判斷，結合物最后要撞上地球。

（ii）解法一

在極坐標中討論，取極坐標，坐標原點在地心處，極軸由北極指向南極，如圖2所示。碰撞點在北極上空，是橢圓軌道的遠地點，結合物軌道的橢圓方程

                             （11）

式中e是偏心率，p是橢圓的半正焦弦，遠地點到地心的距離

      r_max=R+h                                   （12）

由解析幾何有

                           （13）

在軌道的近地點，r=r_min，θ=0，由（11）式得

      p=r_min(1+e)(=4563km)                          （14）

或有

      p=r_max (1－e)                                 （15）

在結合物撞擊地球處；r= R，由（11）式有

                                     （16）

或                                    （17）

代人有關數據可得

      cosθ=－0.7807                                 （18）

      θ=141.32⁰                                     （19）

這是在北緯51.32⁰ 。

評分標準：本題20分。

第（i）小題12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分。第（ii）小題8分。（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在141⁰到142⁰之間的都給2分），正確指出緯度給l分。

解法二

在直角坐標中討論．取直角坐標系，以橢圓的對稱中心為坐標原點O，x軸通過近地點和遠地點并由遠地點指向近地點，如圖3所示。結合物軌道的橢圓方程是

                             （20）

式中a＇、b＇分別為結合物橢圓軌道的半長軸和半短軸。遠地點到地心的距離

      r_max=R+h                                 （21）

根據解析幾何，若c為地心與坐標原點間的距離，

      c= r_max－a＇(=1912km)                      （22）

而                                （23）

注意到a＇由（9）式給出，得

      b＇=4899km                               （24）

結合物撞擊地面處是結合物的橢圓軌道與地面的交點，設該處的坐標為x_p和y_p，則有

      x_p=Rcosθ+c                                （25）

      y_p=Rsinθ                                  （26）

式中θ為從地心指向撞擊點的矢經與x方向的夾角．因撞擊點在結合物的軌道上，將（24）、（25）式代入軌道方程（20）式，經整理得

            （27）

引人以下符號并代人有關數據得

       高.考.資.源.網

       ht

      高.考.資.源.網

代入（27）式得

                         （28）

解得                      （29）

舍掉不合理的答案，得

      cosθ=－0.7807                               （30）

      θ=141.32⁰                                   （31）

這是在北緯51.32⁰ 。

評分標準：

（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在141⁰到142⁰之間的都給2分），正確指出緯度給1 分。