Question

【題目】如圖甲所示，兩豎直同定的光滑導軌AC、A'C'間距為L，上端連接一阻值為R的電阻。矩形區域abcd上方的矩形區域abA'A內有方向垂直導軌平面向外的均勻分布的磁場，其磁感應強度B1隨時間t變化的規律如圖乙所示（其中B0、t0均為已知量），A、a兩點間的高度差為2gt0（其中g為重力加速度），矩形區域abcd下方有磁感應強度大小為B0、方向垂直導軌平面向里的勻強磁場。現將一長度為L，阻值為R的金屬棒從ab處在t=0時刻由靜止釋放，金屬棒在t=t0時刻到達cd處，此后的一段時間內做勻速直線運動，金屬棒在t=4t0時刻到達CC'處，且此時金屬棒的速度大小為kgt0（k為常數）。金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好，導軌電阻不計，空氣阻力不計。求：

(1)金屬棒到達cd處時的速度大小v以及a、d兩點間的高度差h；

(2)金屬棒的質量m；

(3)在0－4t0時間內，回路中產生的焦耳熱Q以及d、C兩點的高度差H。

Answer 1

【答案】(1)gt0，；(2)；(3)，

【解析】

(1)在0~t0時間內，金屬棒不受安培力，從ab處運動到cd處的過程做自由落體運動，則有

(2)在0~2t0時間內，回路中由于ab上方的磁場變化產生的感應電動勢

在t0~2t0時間內，回路中由于金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢

經分析可知，在t0~2t0時間內，金屬棒做勻速直線運動，回路中有逆時針方向的感應電流，總的感應電動勢為

根據閉合電路的歐姆定律有

對金屬棒，由受力平衡條件有

B0IL=mg

解得

(3)在0~t0時間內，回路中產生的焦耳熱∶

在t0 ~2t0時間內，金屬棒勻速下落的高度∶

在t0~2t0時間內，回路中產生的焦耳熱

設在2t0~4t0時間內，金屬棒下落的高度為h2，回路中通過的感應電流的平均值為I，有

根據動量定理有

解得

經分析可知

解得

根據能量守恒定律可知，在2t0~4t0時間內，回路中產生的焦耳熱

經分析可知

Q=Q1+Q2+Q3

解得