Question

（2009?青島二模）如圖所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導軌電阻不計；一根質量為m、長為L、電阻為R的金屬棒兩端放于導軌上，導軌與金屬棒間的動摩擦因數為μ，棒與導軌的接觸電阻不計．導軌左端連有阻值為2R的電阻．軌道平面上有n段豎直向下的寬度為a、間距為b的勻強磁場（a＞b），磁感應強度為B．金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場相距2a．求：
（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀的速度一直向右穿過各磁場，需對金屬棒施加水平向右的拉力．求金屬棒不在磁場中時受到的拉力F₁，和在磁場中時受到的拉力F₂的大小；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速度為零，現對其施以水平向右的恒定拉力F，使棒進入各磁場的速度都相同，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場整個過程中導軌左端電阻上產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）金屬棒在進入磁場前，不受安培力作用，勻速運動時，拉力與摩擦力平衡；在進入磁場后，金屬棒切割磁感線，產生感應電流，勻速運動時，拉力與摩擦力和安培力平衡．根據平衡條件和電磁感應知識，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的總功．
（3）進入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據動能定理，求出金屬棒進入磁場時的速度．進入在磁場時，拉力、摩擦力和安培力做功，根據能量守恒定律求出熱量．

解答：解：
（1）當金屬棒勻速運動時，
   進入磁場前，F₁=μmg        
   進入磁場后，F₂=μmg+F_安  
                又F_安=BIL
                 I=

BLV0

3R

   
    解得：F2=μmg+

B2L2v0

3R

 （2）金屬棒在磁場外運動過程中，
           W₁=μmg[2a+（n-1）b]
      穿過 n 段磁場過程中，W₂=nF₂a
  故拉力做功為：W=W₁+W₂=μmg[2a+（n-1）b]+nF₂a=μmg[(n+2)a+(n-1)b]+

n B2L2v0a

3R

        
  （3）金屬棒進入第一段磁場前，(F-μmg)?2a=

1

2

m 

v

2 1

       穿過第一段磁場過程中，Fa-μmga-E_電1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

       金屬棒從穿出第一段磁場到進入第二段磁場的過程中，(F-μmg)b=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

          
              得到，E_電1=（F-μmg）（a+b）
       從OO′開始運動到剛離開第n段磁場整個過程中電路中產生總熱量E_電=n（F-μmg）（a+b）
            由于金屬棒與電阻的感應電流瞬時相等，根據焦耳定律Q=I²Rt，Q∝R
        整個過程中電阻上產生的總熱量為：Q=n

2R

3R

E電
       解得：Q=

2

3

n(F-μmg)(a+b)
答：（1）金屬棒不在磁場中時受到的拉力F₁=mg，在磁場中時受到的拉力F₂的大小為μmg+

B2L2v0

3R

；
    （2）拉力所做的功為μmg[(n+2)a+(n-1)b]+

n B2L2v0a

3R

；   
    （3）金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場整個過程中導軌左端電阻上產生的熱量為

2

3

n(F-μmg)(a+b)．

點評：本題分析受力是基礎，關鍵從能量轉化和守恒角度來求解，解題時要注意抓住使棒進入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時電路中發熱量均相同的條件．