Question

（2011?上海模擬）如圖所示，光滑曲面軌道置于高度為H=1.8m的平臺上，其末端切線水平．另有一長木板兩端分別擱在軌道末端點和水平地面間，構成傾角為θ=37°的斜面，整個裝置固定在豎直平面內．一個可視作質點的質量為m=0.1kg的小球，從光滑曲面上由靜止開始下滑（不計空氣阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小球從高h=0.45m處靜止下滑，則小球離開平臺時速度v₀的大小是多少？
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，則釋放小球的高度h為多大？
（3）試推導小球下滑后第一次撞擊木板時的動能與它下滑高度h的關系表達式，并作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析：（1）小球下滑過程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律列式求解；
（2）先根據平拋運動的位移公式求解出平拋的初速度，然后對沿斜面下滑過程運用機械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據位移時間關系公式得到運動時間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動能的一般表達式，再作圖．

解答：解：（1）小球從曲面上滑下，只有重力做功，由機械能守恒定律：
mgh=

1

2

m

v

2 0

    ①
解得 v0=

2gh

=3m/s
即小球離開平臺時速度v₀的大小是3m/s．
（2）小球離開平臺后做平拋運動，小球正好落到水平地面木板的末端，則
H=

1

2

gt2      ②

H

tanθ

=v₁t    ③
聯立②③式得：v₁=4m/s
設釋小球的高度為h₁，則：mgh1=

1

2

m

2 1

解得
h1=

v 2 1

2g

=0.8m
即釋放小球的高度h為0.8m．
（3）由機械能守恒定律可得：mgh=

1

2

m

v

2 0

小球由離開平臺后做平拋運動，可看做水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，則：
y=

1

2

gt2     ④
x=v₀t       ⑤
tan37°=

y

x

   ⑥
v_y=gt    ⑦

v

2 t

=

v

2 0

+

v

2 y

   ⑧
EK=

1

2

m

v

2 t

   ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨式得：E_k=3.25h  ⑩
考慮到當h＞0.8m時小球不會落到斜面上，其圖象如圖所示

點評：本題關鍵是將平拋運動沿著水平和豎直方向正交分解，根據位移時間關系公式和速度時間關系列式，同時對沿斜面加速過程運用機械能守恒定律列式后聯立求解．