Question

4．如圖甲所示，一足夠長阻值不計的光滑平行金屬導軌MN、PQ之間的距離L=0.5m，NQ兩端連接阻值R=2.0Ω的電阻，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌所在平面向上，導軌平面與水平面間的夾角θ=30⁰．一質量m=0.40kg，阻值r=1.0Ω的金屬棒垂直于導軌放置并用絕緣細線通過光滑的定滑輪與質量M=0.80kg的重物相連．細線與金屬導軌平行．金屬棒沿導軌向上滑行的速度v與時間t之間的關系如圖乙所示，已知金屬棒在0～0.3s內通過的電量是0.3～0.6s內通過電量的$\frac{2}{3}$，g=10m/s²，求：
（1）0～0.3s內棒通過的位移；
（2）金屬棒在0～0.6s內產生的熱量．

Answer 1

分析 （（1）金屬棒在0.3～0.6s內通過的電量是q₁=I₁t₁=$\frac{BLv{t}_{1}}{R+r}$，t₁=0.3s．金屬棒在0～0.3s內通過的電量q₂=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BL{x}_{2}}{R+r}$，由已知條件：金屬棒在0～0.3s內通過的電量是0.3～0.6s內通過電量的$\frac{2}{3}$，求出0～0.3s內棒通過的位移x₂．
（2）金屬棒在0～0.6s內通過的總位移為x=x₁+x₂=vt₁+x₂，在此過程中，重物的重力勢能減小轉化為金屬棒的重力勢能、內能和系統的動能，根據能量守恒定律求解整個電路產生的熱量Q．由于金屬棒與電阻R串聯，它們產生的熱量與電阻成正比，金屬棒產生的熱量Q_r=$\frac{r}{r+R}$Q．

解答 解：（1）金屬棒在0.3～0.6s內通過的電量是 q₁=I₁t₁=$\frac{BLv{t}_{1}}{R+r}$
金屬棒在0～0.3s內通過的電量 q₂=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BL{x}_{2}}{R+r}$
由題中的電量關系 $\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}$=$\frac{3}{2}$
代入解得：x₂=0.7m
（2）金屬棒在0～0.6s內通過的總位移為 x=x₁+x₂=vt₁+x₂
代入解得 x=1.15m
根據能量守恒定律得
   Mgx-mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}$（m+M）v²
代入解得  Q=3.15J
由于金屬棒與電阻R串聯，電流相等，根據焦耳定律Q=I²Rt，得知它們產生的熱量與電阻成正比
所以金屬棒在0～0.6s內產生的熱量 Q_r=$\frac{r}{r+R}$Q=$\frac{1}{1+2}$×3.15J=1.05J
答：（1）0～0.3s內棒通過的位移為0.7m；
（2）金屬棒在0～0.6s內產生的熱量為1.05J．

點評 本題是電磁感應中能量問題，要能熟練推導感應電量的表達式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，搞清能量是如何轉化的．容易產生的錯誤是把整個回路產生的熱量Q當成金屬棒產生的熱量．