Question

20．如圖所示，空間存在一個方向豎直向上、電場強度為E勻強電場，地面有一半徑為3L的圓，圓心O為天花板上O₁點在地面投影．在O₁點懸掛一根長度為L的輕繩，繩的下端掛一質量為m、電荷量為$\frac{mg}{2E}$且帶正電的小球，已知繩能承受的最大拉力為mg，小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好落在地面的圓弧上，已知重力加速度為g，忽略空氣阻力，求天花板離地面的高度．

Answer 1

分析 小球在水平面仙做圓周運動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解速度；小球在繩子斷開后做平拋運動，根據幾何關系確定水平位移，根據水平方向上的勻速直線運動規律可求得下落時間，再根據豎直方向的自由落體規律可求得離地高度．

解答 解：小球受重力和電場力，二者在豎直方向上的合力F=mg-$\frac{mg}{2E}E$=$\frac{mg}{2}$，
合力與繩子拉力的合力充當向心力，則可知F_向=$\sqrt{（mg）^{2}-（\frac{mg}{2}}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg；
則由牛頓第二定律可知：$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關系可知懸線與豎直方向夾角為60°；
R=Lsin60°=$\frac{\sqrt{3}L}{2}$；
聯立解得：v=$\frac{\sqrt{3gl}}{2}$；
小球沿切線飛出后，做平拋運動，落在C處，設繩斷開時，投影點為B，如圖2所示；
水平射程為BC，由幾何關系可知，BC=$\sqrt{{（3L）}^{2}-（\frac{\sqrt{3}L}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}L}{2}$
則根據水平方向勻速直線運動規律可知，t=$\frac{BC}{v}$=$\frac{\frac{\sqrt{33}L}{2}}{\frac{\sqrt{3gL}}{2}}$=$\sqrt{\frac{11L}{g}}$；
則可知豎直高度h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}×g×\frac{11L}{g}$=5.5L．
則可知，天花板離地高度H=h+Lsin30°=5.5L+0.5L=6L．
答：天花板離地面的高度為6L．

點評 本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題，同時明確平拋運動的基本規律的應用才能準確求解．