Question

如圖所示，豎直平面內有一光滑圓弧軌道，其半徑為R，平臺與軌道的最高點等高，一小球從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓弧軌道上的P點的切線方向進入軌道內側，軌道半徑OP與豎直線的夾角為45°，重力加速度為g，試求：
（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀；
（2）小球從平臺上射出點A到圓軌道入射點P之間的距離l；
（3）小球能否沿軌道通過圓弧的最高點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧，說明到到A點的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據平拋運動的基本規律求出P點與A點的水平距離和豎直距離，并進行合成求出位移大小；
（3）設小球能到達D點，根據機械能守恒定律求得D點速度，再運用牛頓第二定律和圓周運動知識求解．

解答：解：（1）小球從A到P的高度差h=R（1+cos45°）=（

2

2

+1）R
小球做平拋運動有     h=

1

2

gt²   
小球平拋時間     t=

2h g

=

(2+ 2 )R g

  
則小球在P點的豎直分速度v_y=gt=

(2+ 2 )gR

    
把小球在P點的速度分解可得v₀=v_y    
所以小球平拋初速度v₀=

(2+ 2 )gR

    
（2）小球平拋下降高度 h=

1

2

v_y?t   
水平射程    s=v₀t=2h  
故A、P間的距離
l=

h2+s2

=

5

h   
由上式可解得 l=（

5

+

1

2

10

）R   
（3）能．小球從A到達Q時，根據機械能守恒定律可得
v_Q=v₀=

(2+ 2 )gR

＞

gR

，所以小球能通過圓弧軌道的最高點．
答：（1）小球從平臺上的A點射出時的速度v₀=

(2+ 2 )gR

；
（2）小球從平臺上射出點A到圓軌道入射點P之間的距離為

5

h；
（3）小球能沿軌道通過圓弧的最高點，根據機械能守恒定律可得：v_Q=v₀=

(2+ 2 )gR

＞

gR

，所以小球能通過圓弧軌道的最高點．

點評：恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結合在一起運用機械能守恒解決，能夠很好的考查學生的能力，是道好題．本題是平拋運動和圓周運動相結合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．