Question

（2012?馬鞍山模擬）（選做）．如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時間t變化的電壓U_AB，兩板間電場可看做是均勻的，且兩板外無電場，極板長L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側有一邊界為MN的區域足夠大的勻強磁場，MN與兩板間中線OO′垂直，磁感應強度B=5×l0^-3T，方向垂直紙面向里．現有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續射入電場中，已知每個粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=108C/kg，重力忽略不計，每個粒子通過電場區域的時間極短，此極短時間內電場可視作是恒定不變的．求：
（1）在t=0．ls時刻射入電場的帶電粒子，進入磁場時在MN上的入射點和出磁場時在MN上的出射點間的距離為多少；
（2）帶電粒子射出電場時的最大速度；
（3）在t=0.25s時刻從電場射出的帶電粒子，在磁場中運動的時間．

Answer 1

分析：（1）在t=0．ls時刻射入電場的帶電粒子，在電場中做勻速直線運動，進入磁場做圓周運動，垂直邊界進入磁場，知運動半個圓周射出，在MN上射入點和射出點的距離為2R．
（2）帶電粒子從極板的邊緣射出電場時速度最大，根據帶電粒子在磁場中做類平拋運動，根據沿電場方向上的勻加速直線運動，求出偏轉的電壓，根據動能定律求出射出電場的最大速度．
（3）在t=0.25s時偏轉電壓為100V，根據第二問解出的結論知，粒子貼著上邊緣進入磁場，根據v=

2

v，知垂直進入磁場時與磁場邊界的夾角為

π

4

，射出磁場時與磁場邊界的夾角也為

π

4

，故對應的圓心角為

π

2

，根據t=

θ

2π

T求出粒子在磁場中的運動的時間．

解答：解：（1）在t=0.1s時刻射入電場的帶電粒子，在極板間做勻速直線運動，以v₀垂直磁場邊界射入磁場．
由qvB=m

v2

R

得，R=

mv

qB

=0.2m
在MN上的入射點和出磁場時在MN上的出射點間的距離為d=2R=0.4m．
（2）設帶電粒子從極板的邊緣射出電場時速度最大，對應的瞬時電壓為u₀，則：

1

2

d=

1

2

u0q

dm

(

L

v0

)2，解得u₀=100V．
由動能定理得，

1

2

qu0=

1

2

mv2-

1

2

mv02．
射出的最大速度v=

2

v0=

2

×105m/s．
（3）在t=0.25s時刻從電場射出的帶電粒子，從極板的上邊緣射出電場，垂直進入磁場時與磁場邊界的夾角為

π

4

，射出磁場時與磁場邊界的夾角也為

π

4

，故對應的圓心角為

π

2

，故在磁場中運動的時間為圓周運動周期的四分之一．
由qvB=

mv2

R

，T=

2πR

v

，得T=

2πm

qB

，
所以t=

T

4

=1.57×10-5s．
答：（1）進入磁場時在MN上的入射點和出磁場時在MN上的出射點間的距離為0.4m．
（2）帶電粒子射出電場時的最大速度為

2

×105m/s．
（3）在t=0.25s時刻從電場射出的帶電粒子，在磁場中運動的時間為1.57×10^-5s．

點評：解決本題的關鍵理清粒子在電場中和磁場中的運動軌跡，結合運動學公式、牛頓第二定律和動能定理進行求解．