Question

4．如圖所示，質量為 M=4.0kg 物體 C 放在水平面上，其上有光滑的四分之一圓弧軌道，軌道半徑 R=0.3m，軌道下端與水平面相切．質量為 m_A=2.0kg 的小滑塊 A 從與圓心等高處由靜止釋放，滑動到 Q 處與質量為 m_B=4.0kg、處于靜止狀態的小滑塊 B 發生彈性碰撞．已知水平面上 Q 點左側光滑，Q 點右側粗糙，且與小滑塊 A、B 的動摩擦因數均為μ=0.1，小滑塊均可視為質點，取 g=10m/s²．求：

①滑塊 A 剛滑到水平面上時，C 物體的位移大小；
②滑塊 A 剛滑到水平面上時的速率；
③AB碰撞后，當B停下來時，AB之間的距離．

Answer 1

分析 ①A在圓弧軌道上下滑時，系統水平方向上不受外力，所以小滑塊下滑過程中，小滑塊與C組成的系統水平方向上動量守恒，規定向右為正方向，根據動量守恒定律求
解．
②根據動量守恒定律和機械能守恒定律結合求滑塊 A 剛滑到水平面上時的速率．
③對于AB碰撞過程，根據動量守恒定律和機械能守恒定律求出碰后兩者的速度．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出B滑行的距離和時間，再求解當B停下來時，AB之間的距離．

解答 解：①、②小滑塊在下滑過程中，小滑塊與C組成的系統水平方向上動量守恒，規定水平向右為正方向．
由動量守恒定律得：0=m_Av₁+Mv₂，
由機械能守恒定律得：m_AgR=$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
代入數據解得：滑塊 A 剛滑到水平面上時，A、C的速度分別為 v₁=2m/s  v₂=-1m/s
滑塊在水平方向上相對于C運動的位移為△x=R=0.3m，
滑塊下滑過程中，小滑塊與C組成的系統水平方向上動量總是守恒的，則滑塊水平方向的速度總是M的兩倍，時間相等，
則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2，且x₁+x₂=0.3m，則x₂=0.1m
即滑塊A剛滑到水平面上時，C物體的位移大小為0.1m．
③AB碰撞過程，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得：
  m_Av₁=m_Av_A+m_Bv_B，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_Av₁²=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²，
聯立解得：碰后A、B的速度分別為 v_A=-$\frac{2}{3}$m/s，v_B=$\frac{4}{3}$m/s
碰后B在粗糙水平面滑動時的加速度大小為 a=$\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{B}}$=μg=0.1×10=1m/s²．
B滑行到停止的時間 t=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{\frac{4}{3}}{1}$=$\frac{4}{3}$s，滑行距離 x_B=$\frac{{v}_{B}}{2}t$=$\frac{\frac{4}{3}}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$m
此過程中A向左滑行的距離 x_A=|v_A|t=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$m
所以AB碰撞后，當B停下來時，AB之間的距離為 S=x_A+x_B=$\frac{8}{9}$m+$\frac{8}{9}$m=$\frac{16}{9}$m
答：
①滑塊 A 剛滑到水平面上時，C 物體的位移大小是0.1m；
②滑塊 A 剛滑到水平面上時的速率是2m/s；
③AB碰撞后，當B停下來時，AB之間的距離是$\frac{16}{9}$m．

點評 本題是系統水平方向動量守恒和能量守恒的問題，應用動量守恒時一定要注意規定正方向，碰撞后B向右做勻減速直線運動，也可以根據動能定理求滑行的距離．