Question

在如圖所示的水平導(dǎo)軌（摩擦、電阻忽略不計(jì)）處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B，導(dǎo)軌左端的間距為L(zhǎng)₁=4l₀，右端間距為L(zhǎng)₂=4l₀，兩段導(dǎo)軌均足夠長(zhǎng)．今在導(dǎo)軌上放置AC、DE兩根導(dǎo)體棒，質(zhì)量分別為m₁=2m₀，m₂=m₀．電阻分別為R₁=4R₀，R₂=R₀．若AC棒以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，求：
（1）定性描述全過(guò)程中AC棒的運(yùn)動(dòng)情況
（2）兩棒在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)前加速度之比

a1

a2

是多少？
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q_DE．

Answer 1

（1）A、C棒向右運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生順時(shí)針感應(yīng)電流，AC棒受安培力的作用后減速；DE棒受安培力產(chǎn)生加速度向右運(yùn)動(dòng)，回路中磁通量的變化減慢，感應(yīng)電流逐漸減小，因此兩棒所受的安培力均減小，最終兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，回路中感應(yīng)電流為零，兩棒不再受安培力，則知AC棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最終勻速運(yùn)動(dòng)，
（2）兩棒達(dá)到穩(wěn)定之前AC、DE棒中通過(guò)的電流大小始終相等，設(shè)加速度分別為a₁和a₂
 根據(jù)牛頓第二定律得
 a₁=

F1

m1

=

BIL1

m1

 a₂=

F2

m2

=

BIL2

m2

 又題意 m₁=4m₂  L₁=4L₂   
解得

a1

a2

=

L1m2

L2m1

=

2

1

 　　　                        
（3）兩棒在達(dá)到穩(wěn)定之前，回路中始終存在磁通量的變化，有感應(yīng)電流就會(huì)產(chǎn)生焦耳熱．當(dāng)兩棒運(yùn)動(dòng)速度滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí)，回路中的磁通量不變，則總電動(dòng)勢(shì)為零，兩棒均做勻速運(yùn)動(dòng)，不再產(chǎn)生熱量．設(shè)兩棒最終速度分別為v₁、v₂，取向右為正方向．則有
 BL₁v₁=BL₂v₂  得  v₁=

v2

4

根據(jù)動(dòng)量定理得：
 對(duì)AC棒：-B

.

I

L₁△t=m₁△v
-∑B

.

I

L₁△t=∑m₁△vt
-B

.

I

L₁△t=m₁v₁-m₁v₀ 　　　　　　　　　　　
同理，對(duì)DE棒有：B

.

I

L₂t=m₂v₂-0                    　    
解方程得：v₁=

v0

9

    v₂=

4v0

9

                                  
由于兩棒串聯(lián)，產(chǎn)生的焦耳熱之比為

QAC

QDE

=

R1

R2

=

4

1

                                                   
根據(jù)能量守恒定律得：Q_DE=

1

5

（

1

2

m1

v

20

-

1

2

m1

v

21

-

1

2

m2

v

22

）=

77

405

m₀v

20

   
答：
（1）AC棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最終勻速運(yùn)動(dòng)，
（2）兩棒在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)前加速度之比

a1

a2

是

2

1

．
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q_DE為

77

405

m₀v

20

．