Question

（18分）如圖所示，豎直平面內(nèi)邊長為a的正方形ABCD是磁場的分界線，在正方形的四周及正方形區(qū)域內(nèi)存在方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B的與豎直平面垂直的勻強(qiáng)磁場，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M點(diǎn)沿MN方向射出，帶電粒子的重力不計(jì)。

（1）若在正方形區(qū)域內(nèi)加一與磁場方向垂直的勻強(qiáng)電場，恰能使以初速度v₀射出的帶電粒子沿MN直線運(yùn)動到N點(diǎn)，求所加電場的電場強(qiáng)度的大小和方向。
（2）為使帶電粒子從M點(diǎn)射出后，在正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動到達(dá)B點(diǎn)，則初速度v₀應(yīng)滿足什么條件?
（3）試求帶電粒子從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間的最小值，并求出此條件下粒子第一次回到M點(diǎn)的時(shí)間。

Answer 1

（1）E=Bv₀方向豎直向下  （2）v₀=5aqB/4m （3）t^’=2T=4m/qB

試題分析：（1）由題意，電場力與洛倫茲力平衡，有：qE=qv₀B
解得E=Bv₀
因帶電粒子帶正電，知電場強(qiáng)度的方向豎直向下
（2）此時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖甲所示，
根據(jù)幾何關(guān)系得R²=a²+(R-a/2)²
解得R=5a/4
由牛頓第二定律得qv₀B=mv₀²/R
解得v₀=5aqB/4m
（3）由題意可畫出帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖乙所示，可得帶電粒子在兩磁場中的軌道半徑均為r=a/2
帶電粒子在正方形區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動時(shí)間t₁=T/4
在正方形區(qū)域外的運(yùn)動時(shí)間t₂=3T/4
由qvB=4 m²r/T²，可得T=2m/qB
故帶電粒子從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間的最小值t=t₁+t₂=2m/qB ,
畫出帶電粒子從N點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動的軌跡如圖丙所示，知帶電粒子可以回到M點(diǎn)，由對稱性，回到M點(diǎn)的時(shí)間為t^’=2T=4m/qB