Question

半徑為R的水平圓臺，可繞通過圓心O的豎直光滑細軸CC ′ 轉動，如圖所示，圓臺上沿相互垂直的兩個半徑方向刻有凹槽，質量為m_A的物體A放在一個槽內，物體A與槽底間的動摩擦因數為μ，質量為m_B的物體B放在另一個槽內，此槽是光滑的．AB間用一長為l（l<R）且不可伸長的輕繩繞過細軸相連．已知圓臺做勻速轉動，且A、B兩物體相對圓臺不動（A、B兩物體可視為質點，物體的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力）．

（1）當圓臺轉動的角速度為ω₀，OA的長度為l₁時，試寫出A、B兩個物體受到的向心力大小的表達式．

（2）不論圓臺轉動的角速度為多大，要使物體A和槽之間恰好沒有摩擦力，則OA的長為多大？

（3）設OA長為x，試分析圓臺的角速度ω和物體A到圓心的距離x所應滿足的條件．

 

Answer 1

 

⑴ F_A = m_Aω₀²l₁       …………………………………………………………………1分

F_B = m_Bω₀²(l – l₁)   …………………………………………………………………1分

⑵  F = m_Aω²l₁       …………………………………………………………………1分

F = m_Bω²(l – l₁)  ……………………………………………………………………1分

解得    …………………………………………………………1分

⑶ 當A、B兩物體相對轉臺靜止且恰無摩擦時，物體A、B的動力學方程分別為

F = m_Aω²x， F = m_Bω²(l – x)，聯立解得   ……………………1分

當A、B兩物體相對轉臺靜止且A恰沒有做遠離軸心的運動時，物體A、B的動力學方程分別為

F+μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²(l-x)

，          …………………………1分

當A、B兩物體相對轉臺靜止且A恰沒有做向軸心的運動時，物體A、B的動力學方程分別為

F - μm_Ag = m_Aω²x，F = m_Bω²(l - x)

，         …………………………1分

綜上分析可知                                   

解析:略