Question

（2011?惠州三模）如圖所示，質量M=2kg的長木板B靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直固定擋板，B的右端距離擋板S．現有一小物體A（可視為質點）質量為m=1kg，以初速度v₀=6m/s從B的左端水平滑上B．已知A與B間的動摩擦因數μ=0.2，A始終未滑離B，B與豎直擋板碰前A和B已相對靜止，B與擋板的碰撞時間極短，碰后以原速率彈回．
求：（1）B與擋板相碰時的速度大小；
（2）S的最短距離；
（3）木板B的長度L至少要多長（保留2位小數）．

Answer 1

分析：A在B上滑動時，以AB整體為研究對象可知，AB組成的系統動量守恒，由此可以求出AB速度相等時的速度；當A和B速度剛好相等時B就與擋板相碰，則此時B與擋板的距離最短，由于B做初速度為0的勻加速直線運動，求出B的加速度，（1）問求出的末速度可以求出在這過程中B板的位移即B與擋板的最短距離；當A減速運動至和B一起運動的過程中可以求出A在B板上滑動的距離L₁，當B與擋板碰撞后，B的速度立即反向，而A將繼續向右運動，根據運動規律可以求出A再次與B速度相等的過程中，A相對于B滑動的距離L₂，而木板B的長度L至少為L₁+L₂

解答：解：（1）A在B上滑動至AB速度相等的過程中，以AB組成的系統滿足動量守恒，令B與擋板相碰時的速度為v₁，則根據動量守恒有：
mv₀=（m+M）v₁
∴v1=

m

m+M

v0=

1

1+2

×6m/s=2m/s
（2）由題意可知，當AB速度相等時，B就與擋板相碰，則在這一過程中有B距擋板距離S最短：
對B進行受力分析，B在豎直方向受力平衡，水平方向受到A給B的摩擦力使B產生加速度a
則a=

F合

M

=

f

M

=

μmg

M

=

0.2×1×10

2

m/s2=1m/s²
所以B在速度由0增加到2m/s的過程中產生的位移
s=

v12

2a

=

22

2×1

m=2m
（3）在A滑上B至B與擋板相碰的過程中，A、B間相對位移為L₁，則根據動能定理有：
μmgL1=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 1

代入數據可解得L₁=6m
B與擋板相碰后速度立即反向，即以2m/s向左運動，A由于慣性仍以2m/s向右運動，上后根據動量守恒可得A與B速度再次相同時的速度v₂
取向左為正方向，則據動量守恒有：
Mv_M+mv_m=（m+M）v₂
即：v2=

MvM+mvm

m+M

=

2×2-1×2

1+2

m/s=

2

3

m/s
在這一過程中，A、B相對位移為L₂，根據動能定理有：
μmgL2=

1

2

(M+m)

v

2 1

-

1

2

(m+M)

v

2 2

代入數據可以解得：L₂=2.67m
所以B板的長工L至少為L=L₁+L₂=6+2.67m=8.67m．
答：（1）B與擋板相碰時的速度大小為2m/s；
（2）S的最短距離2m；
（3）木板B的長度L至少要8.67m．

點評：解決本題的關鍵是A與B組成的系統在碰撞過程中滿足動量守恒，B在運動過程中遵循牛頓第二定律，A在B上滑動時，A相對于B滑動的位移為相對位移，摩擦力在相對位移上做的功等于系統機械能的損耗．