Question

（15分）如圖所示是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面內有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁＝B₂＝1T，電梯橋廂固定在如圖所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為m＝5×10³kg，所受阻力大小為F_f＝500N，金屬框垂直軌道的邊長為L_cd＝2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻為R＝1.0×10^－3Ω，問：

（1）假如兩磁場始終豎直向上做勻速運動。設計要求電梯以v₁＝10m/s的速度向上勻速運動，那么，磁場向上運動的速度v₀應該為多大？

（2）假如t＝0時兩磁場由靜止開始向上做勻加速運動，加速度大小為a＝1.5m/s²，電梯可近似認為過一小段時間后也由靜止開始向上做勻加速運動，t＝5s末電梯的速度多大？電梯運動的時間內金屬框中消耗的電功率多大？從電梯開始運動到t＝5s末時間內外界提供給系統的總能量為多大？

Answer 1

（15分）（1）電梯向上勻速運動時，框中感應電流大小為I＝2B₁L_cd（v₀－v₁）/R（1分），

金屬框所受安培力F＝2B₁IL_cd（1分），

安培力大小與重力和阻力之和相等，所以F＝mg＋F_f（1分），

即4B₁²L_cd²（v₀－v₁）/R＝mg＋F_f（1分），可得：v₀＝13.2m/s（1分），

（2）電梯向上勻加速運動時，金屬框中感應電流大小為I＝2B₁L_cd（v₂－v₁）/R（1分），

金屬框所受安培力F＝2B₁IL_cd，由牛頓定律得：F－mg－F_f＝ma（1分），

即4B₁²L_cd²（at－v₁）/R－mg－F_f＝ma（1分），

解得：v₁＝at－（mg＋ma＋F_f）R /4B₁²L_cd²＝3.9m/s（1分），

金屬框中感應電流為：I＝2B₁L_cd（at－v₁）/R＝1.44×10⁴A（1分），

金屬框中的電功率為：P₁＝I²R＝2.07×10⁵W（1分），

電梯上升高度為h＝v₁²/2a＝5.07m（1分），上升時間為t’＝v₁/a＝2.6s（1分），

外界提供的總能量為E＝mgh＋F_fh＋mv₁²＋P₁t’＝8.3×10⁵J（2分）。