Question

在考古中為了測(cè)定古物的年代，可通過測(cè)定古物中碳14與碳12的比例，其物理過程可簡(jiǎn)化為如圖所示．碳14與碳12經(jīng)電離后的原子核帶電量都為q，由靜止經(jīng)電壓U加速后從O點(diǎn)進(jìn)人磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，OM為磁場(chǎng)的下邊界線，可在OM上適當(dāng)位置放置粒子記數(shù)器，從而測(cè)定碳14與碳12的比例（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用力）．求：
（1）碳14與碳12在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑比
（2）在實(shí)際中并不是所有粒子都垂直于OM沿ON射入磁場(chǎng)，而是分布在與ON成一定夾角θ的紙面內(nèi)，要使兩種粒子運(yùn)動(dòng)到OM直線上時(shí)能區(qū)分在不同區(qū)域，θ角的范圍；
（3）θ取最大時(shí)，用陰影表示出碳14粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理以及帶電粒子所受的洛倫茲力提供向心力，得出軌道半徑的表達(dá)式，抓住兩粒子電量相同，質(zhì)量不同，求出運(yùn)動(dòng)的半徑之比．
（2）碳14的軌道半徑大于碳12的軌道半徑，要使兩種粒子運(yùn)動(dòng)到OM直線上時(shí)能區(qū)分在不同區(qū)域，使得碳14在OM上最近距離大于碳12的最遠(yuǎn)距離．根據(jù)結(jié)合關(guān)系，結(jié)合半徑公式求出θ角的范圍．
（3）分別作出兩個(gè)速度方向與豎直方向成θ角的兩個(gè)圓弧的軌跡，確定兩個(gè)臨界狀態(tài)下粒子走過的軌跡，通過粒子圓弧的直徑大小不變，當(dāng)速度角度變化時(shí)，確定出碳14粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域．

解答：解：（1）原子核經(jīng)電場(chǎng)加速有：qU=

1

2

mv2．
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有：qvB=m

v2

R

．
則R=

mv

qB

=

2mU qB2

．
則碳14和碳12在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑比

R1

R2

=

7 6

．
（2）碳14在OM上運(yùn)動(dòng)的最近距離為L(zhǎng)₁=2R₁cosθ
碳12在OM上運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為L(zhǎng)₂=2R₂．
要使兩種粒子運(yùn)動(dòng)到OM直線上時(shí)能區(qū)分在不同區(qū)域，則L₁≥L₂
θ≤arccos

6 7

．
（3）碳14粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖所示．
（OA弧是以O(shè)₁為圓心，半徑為R₁的半圓弧；AC弧是以O(shè)為圓心半徑為2R₁的圓弧；OB弧是以O(shè)₂為圓心半徑為R₁的圓弧）
答：（1）碳14與碳12在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑比為

R1

R2

=

7 6

．
（2）要使兩種粒子運(yùn)動(dòng)到OM直線上時(shí)能區(qū)分在不同區(qū)域，θ角的范圍θ≤arccos

6 7

．
（3）碳14粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是能找到臨界條件，根據(jù)臨界條件列式求解．同時(shí)要熟練掌握磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力，畫出圓弧，是道難題．