Question

兩個可視為質點的小球a和b，用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖所示．已知小球a和b的質量之比為

3

：1，細桿長度是球面半徑的

2

倍．兩小球處于平衡狀態時，設半球面對小球a的支持力為F_a，對小球b的支持力為F_b，細桿與水平面的夾角為θ，則（　　）

• A．θ=45°
• B．θ=15°
• C．F_a：F_b=

  3

  ：1
• D．F_a：F_b=1：

  3

Answer 1

分析：分別對兩球及整體受力分析，由幾何關系可得出兩球受力的大小關系，及平衡時桿與水平方向的夾角；注意本題要用到相似三角形及正弦定理．

解答：解：因桿可以繞任一點轉動，故若桿對a、b的作用力不沿桿，則桿不可能處于平衡狀態，故桿對ab球的彈力一定沿桿，且對兩球的作用力大小一定相等．
設細桿對兩球的彈力大小為T，小球a、b的受力情況如圖所示其中球面對兩球的彈力方向指向圓心，即有：cosα=

2 2 R

R

=

2

2

．
解得：α=45°
故F_Na的方向為向上偏右，即β₁=90°-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向為向上偏左，即β₂=90°-（45°-θ）=45°+θ
兩球都受到重力、細桿的彈力和球面的彈力的作用，過O作豎直線交ab于c點，設球面的半徑為R，則oac與左側力三角形相似；oac與右側力三角相似；則由幾何關系可得：

mag

OC

=

FNa

R

=

T

ac

mbg

OC

=

FNb

R

=

T

bc

解得：FNa=

3

FNb．
取a、b及細桿組成的整體為研究對象，由平衡條件得：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即

3

F_Nb?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．故B、C正確，A、D錯誤．
故選BC．

點評：本題的難點在于幾何關系的確定，對學生的要求較點，只有找出合適的幾何關系，才能找出突破本題的關鍵；應認真體會相似三角形及正弦定理的應用．難度很大．