Question

（2007?清遠一模）如圖所示，兩個幾何形狀完全相同的平行板電容器PQ和MN，水平置于水平方向的勻強磁場中（磁場區域足夠大），兩電容器極板左端和右端分別在同一豎直線上．已知P、Q之間和M、N之間的距離都是d，板間電壓都是U，極板長度均為l．今有一電子從極板左側的O點以速度v₀沿P、Q兩板間的中心線進入電容器，并做勻速直線運動穿過電容器，此后經過磁場偏轉又沿水平方向進入到電容器M、N板間，在電容器M、N中也沿水平方向做勻速直線運動，穿過M、N板間的電場后，再經過磁場偏轉又通過O點沿水平方向進入電容器P、Q極板間，循環往復．已知電子質量為m，電荷為e．
（1）試分析極板P、Q、M、N各帶什么電荷？
（2）Q板和M板間的距離x滿足什么條件時，能夠達到題述過程的要求？
（3）電子從O點出發至第一次返回到O點經過了多長時間？

Answer 1

分析：（1）根據左手定則判斷電子所受的洛倫茲力方向，因電子做勻速直線運動，由平衡條件判斷電場力方向，從而得到各極板各帶何種電荷；
（2）先研究電子在PQ間的運動情況，由平衡條件得出B的表達式，再研究電子在磁場中做勻速圓周運動的情形，由洛倫茲力提供向心力，列式求得軌跡的半徑，即可由幾何關系得到x應滿足的條件；
（3）根據運動學公式分別求出勻速直線運動和勻速圓周運動的時間，再求得總時間．

解答：解：（1）根據左手定則判斷可知電子在PQ間向右運動時，所受的洛倫茲力向下，則電場力向上，故P板帶正電荷，Q板帶負電荷，同理可知M板帶負電荷，N板帶正電荷．
（2）在復合場中 ev0B=e

U

d

，則得 B=

U

v0d

 ①
在磁場中勻速圓周運動時，有 ev0B=m

v 2 0

r

 ②
因此 r=

m v   0

eB

=

dm v 2 0

eU

 ③
要想達到題目要求Q板和M板間的距離x應滿足：(2r-

3

2

d)＜x＜(2r-

1

2

d) ④
將③式代入④式得：

2dm v 2 0

eU

-

3d

2

＜x＜

2dm v 2 0

eU

-

d

2

（3）在電容器極板間運動時間 t1=

2l

v0

在磁場中運動時間t2=T=

2πm

eB

=

2πmdv0

eU

電子從O點出發至第一次返回到O點的時間為：t=t1+t2=

2l

v0

+

2πmdv0

eU

答：
（1）P板帶正電荷，Q板帶負電荷，同理可知M板帶負電荷，N板帶正電荷．
（2）能夠達到題述過程的要求，x應滿足的條件是：

2dm v 2 0

eU

-

3d

2

＜x＜

2dm v 2 0

eU

-

d

2

．
（3）電子從O點出發至第一次返回到O點經過的時間為

2l

v0

+

2πm dv 2 0

eU

．

點評：本題是粒子速度選擇器與勻速圓周運動的綜合，根據電子的運動情況，由力學知識列式求解即可．