Question

如圖所示，一個固定的彈性等邊三角形框架ABC，邊長為L，在框內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．在AB邊的中點有一個小孔，現在有一個電量為+q、質量為m且不計重力的微粒，以某一初速度垂直于AB射入框內，微粒與框內壁垂直碰撞且能量與電量均不變，碰撞時間忽略不計，經過若干次這樣的碰撞后又從入射點射出．求：
（1）從射入框內到射出框的最短時間以及對應的初速度V₀；
（2）所有滿足條件的初速度及對應的框內運動時間的表達式．

Answer 1

分析：（1）微粒射入磁場后做勻速圓周運動，當微粒與三角形框架碰撞兩次時，運動時間最短，畫出軌跡，求出周期，再得到最短時間．由幾何知識求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求出初速度．
（2）畫出軌跡可能的情況，根據幾何知識得到軌跡半徑與三角形邊長的關系，由牛頓第二定律即可求解初速度滿足的條件，由時間與周期的關系求出時間．

解答：解：（1）如圖，由時間最短知道微粒與AC、BC邊各碰撞一次后從AB邊小孔飛出則分別有：
t_min=

1

2

T=

πm

Bq

對應的半徑為：R_max=

1

2

L=

mv0

Bq

解得：v₀=

BqL

2m

                
（2）如圖，R與L之間滿足下式即可：
R（2n+1）=

1

2

L　　（n=0、1、2…）    
即得：R=

L

2(2n+1)

=

mv0

Bq

解得：v₀=

BqL

2(2n+1)m

（n=0、1、2…）       
t=

1

2

T+3nT=

πm

Bq

(6n+1)（n=0、1、2…）
答：
（1）從射入框內到射出框的最短時間為

πm

Bq

，對應的初速度v₀是

BqL

2m

．
（2）所有滿足條件的初速度是

BqL

2(2n+1)m

（n=0、1、2…），對應的框內運動時間的表達式為t=

1

2

T+3nT=

πm

Bq

(6n+1)（n=0、1、2…）．

點評：本題要通過畫軌跡，分析粒子運動的時間，考查運用數學方法解決物理問題的能力．