Question

（2010?浦東新區一模）相距L=1.5m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量為m₁=1kg的金屬棒ab和質量為m₂=0.27kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環水平地套在金屬導軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同．ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數為μ=0.75，兩棒總電阻為1.8Ω，導軌電阻不計．ab棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規律變化的外力F作用下，從靜止開始，沿導軌勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放．

（1）指出在運動過程中ab棒中的電流方向和cd棒受到的安培力方向；
（2）求出磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；
（3）已知在2s內外力F做功40J，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；
（4）判斷cd棒將做怎樣的運動，求出cd棒達到最大速度所需的時間t₀，并在圖（c）中定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）由右手定則判斷ab棒中感應電流方向，由左手定則判斷cd棒所受的安培力方向．
（2）由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到F與時間t的關系式，再根據數學知識研究圖象（b）斜率和截距的意義，即可求磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小．
（3）由運動學公式求出2s末金屬棒ab的速率和位移，根據動能定理求出兩金屬棒產生的總焦耳熱．
（4）分析cd棒的運動情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
cd棒達到最大速度時重力與摩擦力平衡，而cd棒對導軌的壓力等于安培力，可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律求出最大速度．

解答：解：
（1）在運動過程中ab棒中的電流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于紙面向里．
（2）經過時間t，金屬棒ab的速率v=at
此時，回路中的感應電流為I=

E

R

=

BLv

R

對金屬棒ab，由牛頓第二定律得F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m1a+m1g+

B2L2

R

at
在圖線上取兩點：t₁=0，F₁=11N；t₂=2s，F₂=14.6N，
代入上式得a=1m/s² B=1.2T
（3）在2s末金屬棒ab的速率v_t=at=2m/s
所發生的位移s=

1

2

at2=2m
由動能定律得WF-m1gs-W安=

1

2

m1vt2
又Q=W_安
聯立以上方程，解得Q=WF-mgs-

1

2

mvt2=40-1×10×2-

1

2

×1×22=18(J)
（4）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
當cd棒速度達到最大時，有m₂g=μF_N
又F_N=F_安 F_安=BIL  I=

E

R

=

BLvm

R

   v_m=at₀
整理解得t0=

m2gR

μB2L2a

=

0.27×10×1.8

0.75×1.22×1.52×1

s=2s
f_cd隨時間變化的圖象如圖（c）所示．
答：
（1）在運動過程中ab棒中的電流方向（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于紙面向里．
（2）磁感應強度B的大小為1.2T，ab棒加速度大小為1m/s² ．
（3）已知在2s內外力F做功40J，這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱是18J；
（4）cd棒的運動情況是：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．cd棒達到最大速度所需的時間t₀是2s．在圖（c）中定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．

點評：本題中cd棒先受到滑動摩擦，后受到靜摩擦，發生了突變，要仔細耐心分析這個動態變化過程．滑動摩擦力與安培力有關，呈現線性增大．