Question

一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的內徑大得多。在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A球的質量為m₁，B球的質量為m₂。它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為V₀。設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁、m₂、R與V₀應滿足的關系式是 　　　　　　　　 。

Answer 1

分析與解：如圖7-1所示，A球運動到最低點時速度為V₀，A球受到向下重力mg和細管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力。那么，N₁-m₁g=m₁ [1]

這時B球位于最高點，速度為V₁，B球受向下重力m₂g和細管彈力N₂作用。球作用于細管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂ [2]， 且N₂方向一定向下，對B球：N₂+m₂g=m₂ [3]

B球由最高點運動到最低點時速度為V₀，此過程中機械能守恒：

即m₂V₁²+m₂g2R=m₂V₀² [4]

由[1][2][3][4]式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關系式是：

(m₁-m₂)+(m₁+5m₂)g=0 [5]

說明：（1）本題不要求出某一物理量，而是要求根據對兩球運動的分析和受力的分析，在建立[1]-[4]式的基礎上得到m₁、m₂、R與V₀所滿足的關系式[5]。（2）由題意要求兩球對圓管的合力為零知，N₂一定與N₁方向相反，這一點是列出[3]式的關鍵。且由[5]式知兩球質量關系m₁＜m₂。