Question

人類對宇宙的探索是無止境的．隨著科學技術的發展，人類可以運送宇航員到遙遠的星球去探索宇宙奧秘．假設宇航員到達了一個遙遠的星球，此星球上沒有任何氣體．此前，宇航員乘坐的飛船繞該星球表面運行的周期為T，著陸后宇航員在該星球表面附近從h高處以初速度v₀水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L，已知萬有引力常量為G．求：
（1）該星球的密度；
（2）該星球表面的重力加速度
（3）若在該星球表面發射一顆衛星，那么發射速度至少為多大？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，結合周期的大小求出星球的質量，通過星球的體積求出星球的密度．
（2）根據水平位移和初速度求出平拋運動的時間，結合豎直高度，運用位移時間公式求出星球表面的重力加速度．
（3）根據星球表面的重力加速度，根據星球表面重力提供向心力求出發生的速度．

解答：解：（1）在星球表面

GMm

R2

=mR

4π2

T2

又M=ρ?

4

3

πR3
解得 ρ=

3π

GT2

又G

Mm

R2

=mg，解得R=

gT2

4π2

．
（2）設星球表面的重力加速度為g，小球的質量為m，小球做平拋運動，
故有 h=

1

2

gt2，L=v₀t
解得g=

2hv02

L2

．
（3）該星球表面處的最小發射速度即為該星球的第一宇宙速度，設為為v，設衛星的質量為m₁，則在星球表面
G

Mm1

R2

=m1

v2

R

又 G

Mm1

R2

=m1g
則v=

gR

代入（1）問中的R，解得v=

hTv02

πL2

．
答：（1）該星球的密度ρ=

3π

GT2

．
（2）該星球表面的重力加速度為g=

2hv02

L2

．
（3）若在該星球表面發射一顆衛星，那么發射速度至少為v=

hTv02

πL2

．

點評：本題考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．