Question

如圖所示，質量為M=2Kg的物體置于可繞豎直軸勻速轉動的平臺上．M用細繩通過光滑的定滑輪與質量為m=0.4Kg的物體相連，m懸于空中與M都處于靜止狀態．假定M與軸O的距離r=0.5m，與平臺的最大靜摩擦力為重力的0.3倍．（g取10m/s²），試問：
（1）平臺轉速由零增大時，M受到的摩擦力如何變化？
（2）M受到的摩擦力最小時，平臺的角速度ω₀等于多少？
（3）保持M與平臺相對靜止，平臺的最大角速度ω_m等于多少？

Answer 1

分析：（1）當角速度較小時，由于細繩的拉力作用，M有向圓心運動趨勢，靜摩擦力方向背離圓心；當角速度較大時，靜摩擦力方向指向圓心；對于M，由靜摩擦力和拉力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律列式分析；
（2）M受到的摩擦力最小為零，僅由繩子的拉力提供向心力，列式求解角速度ω₀．
（3）當角速度最大時，M有離開圓心趨勢，靜摩擦力方向指向圓心方向，并且達到最大值，由最大靜摩擦力與細繩拉力的合力提供M的向心力．根據牛頓第二定律求解最大角速度ω_m．

解答：解：（1）當角速度較小時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的靜摩擦力方向背離圓心，對于M，由靜摩擦力和拉力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律得：
    T-f=Mω²r，而T=mg不變，當ω增大時，摩擦力f減小；
當角速度較大時，M有離開圓心的運動趨勢，故水平面對M的靜摩擦力方向指向圓心，對于M，由靜摩擦力和拉力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律得：
    T+f=Mω²r，而T=mg不變，當ω增大時，摩擦力f增大；
故平臺轉速由零增大時，M受到的摩擦力先減小后增大．
（2）M受到的摩擦力最小為零，僅由繩子的拉力提供向心力，則得：
   T=Mω₀²r
又 T=mg
聯立得：ω₀=

mg Mr

=

0.4×10 2×0.5

rad/s=2rad/s
（3）當ω具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，并且達到最大值．
再隔離M有：
  T+f_m=Mω_m²r
而f_m=0.3Mg，T=mg
聯立得：ω_m=

0.3M+m Mr g

=

0.3×2+0.4 2×0.5 ×10

rad/s=

10

rad/s
答：（1）平臺轉速由零增大時，M受到的摩擦力先減小后增大．（2）M受到的摩擦力最小時，平臺的角速度ω₀等于2rad/s．（3）保持M與平臺相對靜止，平臺的最大角速度ω_m等于

10

rad/s．

點評：本題分析靜摩擦力的方向，確定向心力的來源是關鍵，考查應用牛頓定律處理臨界問題的能力．當物體將滑動時，靜摩擦力達到最大值．