Question

如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，R?

.

AB

．甲球從弧形槽的球心處自由落下，乙球從A點由靜止釋放（不計空氣阻力）．問：
（1）兩球第1次到達C點的時間之比；
（2）若在圓弧的最低點C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時乙球從圓弧左側由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？

Answer 1

（1）甲球做自由落體運動R=

1

2

g

t

21

所以：t1=

2R g

乙球沿圓弧做簡諧運動（由于B→C?R，可認為擺角θ＜5°）．此振動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故此等效擺長為R，因此乙球第1次到達C處的時間為：
t₂=

1

4

T=

1

4

×2π

R g

，所以t₁：t₂=

2 2

π

（2）甲球從離弧形槽最低點h高處開始自由下落，到達C點的時間為t_甲=

2h g

由于乙球運動的周期性，所以乙球到達C點的時間為
t乙=

T

4

+n

T

2

=

2n+1

2

?π

R g

，n=0，1，2，…

由于甲、乙在C點相遇，故t_甲=t_乙
解得h=

(2n+1)2

8

π2R(n=0，1，2，…)
答：（1）兩球第1次到達C點的時間之比是

2 2

π

；
（2）若在圓弧的最低點C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時乙球從圓弧左側由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點C處相遇，則甲球下落的高度h是

(2n+1)2

8

π2R(n=0，1，2，…)．