Question

19．如圖甲是一種升降電梯的示意圖，A為載人箱，B為平衡重物，它們的質量均為M，上下均由跨過滑輪的鋼索系住，在電動機的牽引下使電梯上下運動，在電動機部位裝有電磁剎車器，其簡化原理如圖乙所示．一個半徑為L的圓形金屬導軌固定在豎直平面內，一根長為L的金屬棒OC的C端與導軌接觸良好，O端固定在導軌圓心處的轉軸上．轉軸的左端有一個半徑為r=$\frac{L}{3}$的圓盤，圓盤上的鋼索分別接平衡重物和左下滑輪，鋼索與圓盤不打滑，轉軸和金屬棒能隨圓盤一起轉動．在金屬導軌區域內存在垂直于導軌平面向右的磁感應強度為B的勻強磁場，a點與導軌相連，b點通過電刷與金屬棒O端相連．a、b兩點間連接一阻值為R的電阻．電梯中人的總質量為m，電梯在中間運行階段的速度始終為v．（不計空氣阻力和部件間的摩擦阻力，電磁剎車器的質量可忽略，金屬棒、導軌、導線及電刷的電阻均不計，重力加速度g=10m/s²）

（1）若讓電梯在上行即將到頂層前關閉電動機并斷開電磁剎車器的開關，依靠慣性上升高度h后停止，求h的大小．
（2）若讓電梯在下行階段距離底層高度為h₁時，關閉電動機的同時閉合電磁剎車器的開關，僅靠電磁剎車器使電梯到底層時停止，則判斷該情況下流過電阻R的電流方向并計算閉合開關瞬間電流的大小及該過程中在電阻R上產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）在上行階段載人箱與平衡重物的重力勢能的變化始終相互抵消，由動能定理列式即可求解；
（2）電梯運行帶動金屬棒切割磁感線的方向，由右手定則判斷流經R的電流方向，根據圓周運動的規律求出導體棒C端的線速度，根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，再求出感應電流，由動能定理即可求出電阻R上產生的焦耳熱

解答 解：（1）分析題意可知，在上行階段載人箱與平衡重物的重力勢能的變化始終相互抵消，由動能定理可得：
mgh=$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
解得：h=$\frac{（2M+m）{v}^{2}}{2mg}$．
（2）下行階段，根據電梯運行帶動金屬棒切割磁感線的方向，由右手定則可知，電流將從b點經電阻R流向a點，由電磁剎車器的構造及圓周運動規律可知，導體棒C端線速度v_C與圓盤邊緣的線速度v滿足$\frac{{v}_{C}}{L}=\frac{v}{r}$
故可得：v_C=3v
由法拉第電磁感應定律得，閉合開關瞬間金屬棒產生的感應電動勢為：E=$\frac{1}{2}$BLv_C
故有：I=$\frac{E}{R}=\frac{3BLv}{2R}$
對于下行h₁停止在底層的過程，運用動能定理得：
mgh₁+W_安=0-$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
解得：W_安=-mgh₁-$\frac{1}{2}$（2M+m）v²
得：Q=-W_安=mgh₁+$\frac{1}{2}$（2M+m）v²．
答：（1）若讓電梯在上行即將到頂層前關閉電動機并斷開電磁剎車器的開關，依靠慣性上升高度h后停止，h的大小為$\frac{（2M+m）{v}_{\;}^{2}}{2mg}$．
（2）若讓電梯在下行階段距離底層高度為h₁時，關閉電動機的同時閉合電磁剎車器的開關，僅靠電磁剎車器使電梯到底層時停止，則該情況下流過電阻R的電流方向電流將從b點經電阻R流向a點，閉合開關瞬間電流的大小及該過程中在電阻R上產生的熱量Q為$mg{h}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}（2M+m）{v}_{\;}^{2}$

點評 本題考查電磁感應定律的應用，右手定則等知識和分析綜合建模能力，根據右手定則可以判斷經過電阻R的電流方向，由圓周運動的規律得出導體棒C端的速度，意在考查學生分析綜合能力．