Question

【題目】圖中給出一段“S”形單行盤山公路的示意圖，彎道1、彎道2可看作兩個不同水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1＝10 m、r2＝20 m，彎道2比彎道1高h＝12 m，有一直道與兩彎道圓弧相切．質量m＝1 200 kg的汽車通過彎道時做勻速圓周運動，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是車重的1.25倍，行駛時要求汽車不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)

(1)求汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度v1；

(2)汽車以v1進入直道，以P＝30 kW的恒定功率直線行駛了t＝8.0 s，進入彎道2，此時速度恰為通過彎道2中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對汽車做的功；

(3)汽車從彎道1的A點進入，從同一直徑上的B點駛離，有經驗的司機會利用路面寬度，用最短時間勻速安全通過彎道，設路寬d＝10 m，求此最短時間(A、B兩點都在軌道的中心線上，計算時視汽車為質點 )．

Answer 1

【答案】(1)11.2 m/s　(2)－21 000 J　(3)1.85 s

【解析】試題分析：汽車拐彎時靠靜摩擦力提供向心力，當靜摩擦力達到最大時，汽車的速度最大，根據牛頓第二定律求出汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度；同理求出汽車沿彎道2中心線行駛時的最大速度，再研究汽車在直道上行駛的過程，運用動能定理求阻力對汽車做的功；當汽車沿著與彎道1內切的弧線運動時時間最短，且速度最大，根據幾何關系求出該弧線的半徑，結合運動學公式求最短時間。

（1）當汽車所受的靜摩擦力達到最大時，速度最大，

根據牛頓第二定律得：

代入數據解得：

（2）汽車沿彎道2的最大速度設為v2．由牛頓第二定律得：

代入數據解得：

汽車直道上行駛的過程動能定理得：

代入數據解得：

(3)沿如圖所示內切的路線行駛時間最短

由圖可得

解得：R＝12.5 m

設汽車沿該線路行駛的最大速度為vm

由牛頓第二定律得：

解得：

根據：

解得:θ＝106°

所以：