Question

牛頓在1684年提出這樣一些理論：當被水平拋出物體的速度達到一定數值v₁時，它會沿著一個圓形軌道圍繞地球飛行而不落地，這個速度稱為環繞速度；當拋射的速度增大到另一個臨界值v₂時，物體的運動軌道將成為拋物線，它將飛離地球的引力范圍，這里的v₂我們稱其為逃離速度，對地球來講逃離速度為11.2km/s．
法國數學家兼天文學家拉普拉斯于1796年曾預言：“一個密度如地球而直徑約為太陽250倍的發光恒星，由于其引力作用，將不允許任何物體（包括光）離開它．由于這個原因，宇宙中有些天體將不會被我們看見．”這種奇怪的天體也就是愛因斯坦在廣義相對論中預言的“黑洞（black hole）”．
已知對任何密度均勻的球形天體，v₂恒為v₁的

2

倍，萬有引力恒量為G，地球的半徑約為6400km，太陽半徑為地球半徑的109倍，光速c=3.0×10⁸m/s．請根據牛頓理論求：
（1）求質量為M、半徑為R的星體逃離速度v₂的大小；
（2）如果有一黑洞，其質量為地球的10倍，則其半徑應為多少？
（3）若宇宙中一顆發光恒星，直徑為太陽的248倍，密度和地球相同，試通過計算分析，該恒星能否被我們看見．

Answer 1

分析：（1）當物體繞星球表面附近做勻速圓周運動時，由星球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求出v₁．星體逃離速度v₂的大小等于

2

v₁．
（2）根據黑洞與地球的質量關系，得到黑洞的逃離速度表達式，在黑洞表面脫離的速度應大于光速．即可求出黑洞的半徑．
（3）根據直徑與密度關系，求出恒星的逃離速度，若此速度大于光速，我們將看不見該恒星．

解答：解：（1）由

GMm

R2

=m

v 2 1

R

，得v₁=

GM R

  由題得：星體逃離速度v₂=

2

v₁=

2GM R

（2）題中M_黑洞=10M_地球
地球和黑洞的脫離速度分別為：
  對地球：v_2地球=

2GM地球 R地球

；
  對黑洞：v_2黑洞=

2GM黑洞 R黑洞

＞c（c為光速）
兩式相比得：

M黑洞R地球 M地球R黑洞

=

10R地球 10R黑洞

=

v2黑洞

v2地球

≥

c

v2地球

得  R_黑洞≤

10R地球 v 2 2地球

c2

=

10×6400×103×(11.2×103)2

(3×108)2

m=0.089m
（3）已知R_恒星=248×109 R_地球，M_恒星=（248×109）³M_地球（密度相同）
v_2恒星=11.2×10³×248×109 m/s=3.028×10⁸ m/s＞c，所以該恒星不能被我們看見．         
答：
（1）質量為M、半徑為R的星體逃離速度v₂的大小為

2GM R

；
（2）如果有一黑洞，其質量為地球的10倍，則其半徑應為0.089m．
（3）若宇宙中一顆發光恒星，直徑為太陽的248倍，密度和地球相同，通過計算分析可知，該恒星不能被我們看見．

點評：本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．