Question

（2013?順義區一模）1986年2月20日發射升空的“和平號”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋．“和平號”風風雨雨15年鑄就了輝煌業績，已成為航天史上的永恒篇章．
“和平號”空間站總質量137t，工作容積超過400m³，是迄今為止人類探索太空規模最大的航天器，有“人造天宮”之稱．在太空運行的這一“龐然大物”按照地面指令準確墜落在預定海域，這在人類歷史上還是第一次．“和平號”空間站正常運行時，距離地面的平均高度大約為350km．為保證空間站最終安全墜毀，俄羅斯航天局地面控制中心對空間站的運行做了精心安排和控制．在墜毀前空間站已經順利進入指定的低空軌道，此時“和平號”距離地面的高度大約為240km．在“和平號”沿指定的低空軌道運行時，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km．
設“和平號”空間站正常運轉時沿高度為350km圓形軌道運行，在墜落前沿高度為240km的指定圓形低空軌道運行．而且沿指定的低空軌道運行時，每運行一周空間站高度變化很小，因此計算時對空間站的每一周的運動都可以作為勻速圓周運動處理．
（1）簡要說明，為什么空間站在沿圓軌道正常運行過程中，其運動速率是不變的；
（2）空間站沿著正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值為多大？計算結果保留2位有效數字；
（3）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化多大？計算中取地球半徑R=6.4×10³km，計算結果保留1位有效數字．

Answer 1

分析：（1）空間站沿圓軌道運行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運行方向垂直，萬有引力完全提供向心力，引力對空間站不做功，根據動能定理，空間站沿圓軌道運行過程中，其運動速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運行，還是沿指定的低空軌道運行，萬有引力是空間站運行時的向心力，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有G

Mm

r2

=ma，得a=

GM

r2

．加速度與軌道半徑的平方成反比，代入數據求比值．
（3）萬有引力提供空間站運行時的向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，不計地球自轉的影響，有G

Mm

R2

=mg，則空間站在指定的低空軌道空間站運行的周期為T=2π

r3 GM

=2π

r3 gR2

，代入數據可計算出T的值．每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數為n=

24h

T

，所以空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減小△h=

2.7km

n

，代入數據計算即可．

解答：解：（1）空間站沿圓軌道運行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運行方向垂直，引力對空間站不做功，根據動能定理，空間站沿圓軌道運行過程中，其運動速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運行，還是沿指定的低空軌道運行，萬有引力是空間站運行時的向心力，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

Mm

r2

=ma
空間站運行時向心加速度是a=

GM

r2

，空間站沿正常軌道運行時的加速度與在沿指定的低空軌道運行的半徑分別為：
r₁=R+h₁=6.75×10³km；
r₂=R+h₂=6.64×10³km；
加速度大小的比值是

a1

a2

=

r 2 2

r 2 1

=（

6.64

6.65

）²=0.984²=0.97
（3）萬有引力提供空間站運行時的向心力，有G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
不計地球自轉的影響，根據G

Mm

R2

=mg，有GM=R²g
則空間站在指定的低空軌道空間站運行的周期為：
T=2π

r3 GM

=2π

r3 gR2

=2×3.14

(6.64×106)3 (6.4×106)2×10

s=5.3×10³s；
一晝夜的時間為t=24h，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數為：
n=

t

n

≈16
空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減小：
△h=

2.7km

n

=

2.7km

16

≈2×10^-1m．
答：（1）空間站沿圓軌道運行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運行方向垂直，引力對空間站不做功，根據動能定理，空間站沿圓軌道運行過程中，其運動速率是不變的．
（2）空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值為0.97．
（3）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化約為2×10^-1m．

點評：本題要求知道解決天體運動問題的一般方法：萬有引力提供向心力；星球表面的重力等于萬有引力．同時要注意第三問的結果要求保留1位有效數字，這是容易出錯的地方，要小心．