Question

如圖，L型彎管有一柔軟但不可被壓縮（或拉伸）的長度為l的物體，其截面直徑比L型彎管徑略小（管徑與物體的長度相比可以忽略），該物體可在L型彎管中移動，且物體在彎角處移動時無能量損失．已知L型彎管的豎直部分光滑，水平部分與物體間的動摩擦因數為μ（μ＞1），且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．現讓物體在豎直外力作用下保持靜止，設物體的上端離水平管的豎直距離為x．
（1）若物體的一部分在水平管中，撤去外力后，物體能在原位置保持靜止，求此情況下x的取值范圍．
（2）若物體全部在豎直管中，撤去外力后，物體能全部進入水平管中，求此情況下x的取值范圍．
（3）若x=2μl，求撤去外力后物體右端進入水平管的距離．

Answer 1

（1）對水平管中的物體分析，物體能保持靜止，有：mg

x

l

≤μmg

l-x

l

，
  解出x≤

μ

1+μ

l
（2）物體進入水平管時，摩擦力的大小與右端進入水平管的距離l′之間的關系是：Ff=

μmg l′ l μmg

l′＜l l′≥l

，作出Ff-l′圖：
從圖中曲線和坐標軸所圍的面積可以求出物體在進入水平管的過程中，克服阻力所做的功：Wf=

1

2

μmgl．
減小的重力勢能△E=mg(x-

l

2

)
能夠全部進入管中，重力勢能必大于或等于克服阻力所做的功，
即：mg(x-

l

2

)≥

1

2

μmgl，解出x≥

μ+1

2

l．
（3）當x=2μl時，物體全部進入水平管中，設右端進入水平管的距離為l′，則物體克服阻力所做的功Wf=

μmg(2l′-l)

2

減小的重力勢能△E=mg(x-

l

2

)
由△E=W_f解出l′=

5μl-l

2μ

答：（1）x的取值范圍為x≤

μ

1+μ

l．
（2）此情況下x的取值范圍x≥

μ+1

2

l．
（3）撤去外力后物體右端進入水平管的距離l′=

5μl-l

2μ

．